高等电磁场 电动力学课后习题答案.doc

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1、第2讲场论基础（2）2-1证明修正矢量Green定量证明：（主要公式：；）证毕.2-2证明证明：一种理解：严格证明（直角坐标系）：设，左边：=右边：=+====左边证毕.2-3证明证明：如右图，设场在曲线和曲面上是良性的。把S分成n个小块，设第m块的面积为，边界为，设点在上。由旋度的原始定义，因此有：叠加所有的小块，则上式右边的第一项由于叠加过程中相邻小块的公共边界上的积分相互抵消，因此只剩下不是公共边界曲线的积分，即：当，则：另外，由于当，故因此，。证毕.第4讲Maxwell方程（2）4-2证明边界条件：和hSn媒质1媒质2媒质界面证明：(1).利用由于及有限

2、函数，当时，，。则有：(2).当时，，。则有：4-3讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。解：比拟于微分方程，猜想有两种独立方程形式：以及下面证明第一种方案：(1).证明磁场无法向分量边界条件：上式中，，。因此有：即：由于对于任意的，上式都成立，对于特例也成立，则常数为0。因此.(2).当然还可以倒出电流连续性边界条件：由于：所以（利用了）因为所以注：对于*式，应用电流连续性方程，就可以得到电场的法向不连续的边界条件。第3讲本构关系和波动方程3-1已知铁氧体磁导率张量为：其中是正实数，试采用坐标变换得对角化，求坐标变换矩阵和对角矩阵。解：求特征值：于是有

3、：（）当时，解得当时，解得当时，解得故有变换矩阵：对角化后的矩阵为：3-2对于良导体，无源区域的Maxwell方程为：试导出波动方程，并给出波传播的速度和波阻抗的表达式。解：由于且故：同理：所以波动方程为：由波动方程知：解得所以：第5讲电磁场的能量与动量5-1试推导频域Poynting定理。解：在时域，一个周期内Poynting矢量的时间平均值为：由此引入频域Poynting矢量：，而，故其中：，证毕.5-2相同频率ω的两个点电荷源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为；而电源2产生的，试证明证明：满足的场方程为：所以：证毕.5-3无限均匀

4、导电媒质中放一电量Q为的点电荷，试求这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。解：利用积分场定理求解。高斯定理：由于，所以：而，代入上式有：又有电流连续性方程：所以（）解上述方程的：下面求:研究一个以Q的初始位置为球心的球，则在球面上的大小一样，方向指向背离球心半径方向。于是：由于，代入有所以：而在时刻，。所以：电场能量密度：磁场能量密度：：第6讲波动方程与唯一性定理6-1试证明右图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果（1）区域内的源已知；（2）区域外边界上切向电场或切向磁场已知（3）区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续则区域

5、内电磁场唯一确定。证明：为便于说明，证明两种有耗媒质的情况，然后可将其推广到多媒质情况。如图中所示，整个体积V分成两个区域，和中电导率，磁导率和介电常数分别为：，。设中存在两个电场和两个磁场和，中存在两个电场和两个磁场和。记差场分别为：，，，差场满足：利用Poynting定理的积分形式：由区域外边界上切向电场或切向磁场已知，有：，由区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，有：因此（1）式的左边等于0。故：上式中实部和虚部都为零，有：对于有耗媒质，，，，。于是：唯一性定理得证。对于多媒质情况，由于内部媒质交接处积分总是抵消，表面上积分也为零，可知仍然有唯一性定理

6、。6-2试讨论Poisson方程解的唯一性问题。解：设此方程有两解，分别为：和考虑差值函数。则：满足方程：应用Green第一恒等式：上式中，令则有：可见，只要满足：(1)边界上的给定；(2)或边界上的给定；(3)或边界上一部分的给定，另一部分的给定；上述三个条件中的任何一个，都有，则：，被唯一确定，Poisson方程有唯一解。第7讲辅助位函数7-1试证明在Coulomb规范下式中：证明：对于电流源，由定理得：式中分别为分别表示的无旋部分和无散部分，即：根据矢量恒等式：因为：，以及：所以，由（1）式、（）将上式和代入到：，得到：证毕.7-2试导出导电率为的媒质中矢

7、位和标位的波动方程。解：波动方程：因为：，所以：故有：既有：(2)式两边加可变为：如果令：，则(3)和(4)式可化解为：以上两式即为波动方程。7-3试证明：在Coulomb规范下，无源区域中的电磁场量可用两个标量函数表示。证明：无源区域：。利用上一讲得到的结论，在Coulomb规范下，由此可见，电磁场量可用的两个独立分量表示，即两个标量函数表示。7-4在柱坐标系下，设试从Maxwell方程导出各向同性媒质无源区域中，频域电磁场横向分量由纵向分量表示的表示式。解：满足的电磁场方程：微分算子表示成横向和纵向形式：对Maxwell方程的两个旋度方程取横向分量得到：上面

8、（1）式都用叉乘得到：利