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1、第三节 条件概率与全概率公式例1、一个家庭中已有两个小孩，其中一个是女孩，问这时另一个也是女孩的概率有多大？解：Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}； 令，A={两个都是女孩}={(女,女)}； B={有一个是女孩}={(男,女),(女,男),(女,女)};计算B发生下A的概率可以取B为样本空间(缩减样本空间)，此时，A只含一个样本点。显然，P(A
2、B)≠P(A)=1/4.此外,在样本空间Ω中易计算得: P(B)=3/4, P(AB)=1/4, 且有所以，由此，一般可定义条件概率。一、条件概率与乘法定理设事件
3、B的概率P(B)>0，记称P(A
4、B)为在事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率。任意事件A和B，若P(A)>0，P(B)>0，则有 这个称为乘法公式。不难看出，计算条件概率P(A
5、B)有两种方法：在原样本空间Ω中分别求出P(B),P(AB),再按定义公式计算；在缩减样本空间B中按一般概率P(A)计算。例2、一批零件共100个，次品率为10％，从中抽取两次，每次取一个。第一次取出的不放回，求第二次才取得正品的概率？解：A:第一次取得次品；B:第二次取得正品所以，乘法公式可以推广到多个事件P(ABC)=P((AB)C)=P(
6、AB)P(C
7、AB) =P(A)P(B
8、A)P(C
9、AB)涉及事件A与B同时发生的概率用P(AB); 有包含关系或主从条件关系的用条件概率P(A
10、B).例3、某种动物由出生活到10岁的概率为0.7，活到20岁的概率为0.3，问现年满10岁的这种动物活到20岁的概率是多少？解：A:活到10岁以上；B:活到20岁以上 显然A包含B，属于条件概率，且P(AB)=P(B)所以，例4、某厂的产品中有5%的次品，在100件正品中有70件是一等品。试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。解：A:任取一件产品是正品；B:任取一件产品是一等品。
11、显然，A包含B；所以，二、全概率公式与Bayes公式定理1(全概率公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是样本空间Ω的一组划分,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且AΩ,则对任意事件A有：∩证明： 因为A可互斥分解为 所以由加法公式与乘法公式得：定理2(Bayes公式)： 设事件B1,B2,…,Bn是一个完备事件组,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),A为一子事件，且P(A
12、Bi)>0，则由条件概率、乘法公式与全概率公式推出有诸多原因可以引发某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概率类
13、型。当一随机事件A发生后，往往需要推断引起A发生的原因，这时就需要应用Bayes公式来计算在A发生的情况下Bi发生的概率，推断引起A发生的主要原因。例5、某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%;四条流水线的不合格率分别为0.05,0.04,0.03及0.02。现从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？解：A=“任取一件，恰好为不合格品” Bi=“任取一件，恰好是第i条流水线产品”所以，例6、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示事件“
14、试验反应为阳性”，C表示“被诊断者患有癌症”，已知P(A
15、C)=0.95,P()=0.96.现对自然人群进行普查，设被试验的人患癌症的概率为0.004，即P(C)=0.004.求P(A)和P(C
16、A)？P(C)是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率；而在得到的信息(检验结果呈阳性)而重新加以修正的概率P(C
17、A)叫做后验概率。Bayes决策： 为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采用先抽取它的一个特征(如平均亮度X)，然后再根据这个特征作出判断，这时常用Bayes决策。以A1，A2分别表示被检验的木材为桦木或桉木这一事件，已知它
18、们的先验概率P(A1)和P(A2)，试验确定出P(X
19、A1)和P(X
20、A2)。若P(A1
21、X)>P(A2
22、X)，则作出决策：具有X特征的木材是桦木，否则是桉木。在应用公式时，有两个问题要弄清楚：1、如何确定完备事件组？一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组： 当事件的发生与相继两个试验有关时，从第一试验入手寻找完备事件组； 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的，可以这些“原因”为完备事件组。2、如何区分是用全概率公式or贝叶斯公式？“由因求果”用全概率公式, “执果求因”用Bayes公式.本节要点提示四个公式:条件概率公式
23、,乘法公式,全概率公式,Bayes公式。会计算条件概率[原样本空间与缩减样本空间]。会正确应用乘法公式、全概率公式与Bayes公式。能区分积事件与条件事件，会利用完备事件组“化整为零”地计算概率。第四节 事件的独立性一、事件的独立性对于给定的事件A,B,P(A
