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《(完整版)常微分方程试题库试卷库 .doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是（）。y有只含的积分因子的充要条件是。２、称为黎卡提方程，它有积分因子。３、称为伯努利方程，它有积分因子。X1(t),X2(t),L,Xn(t)４、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。５、形如的方程称为欧拉方程。'(t)(t)xA(t)x(t)(t)６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题（６０％）ydx(xy3)dy01、２、xxsintcos2t211A(t)
2、,(0)14３、若试求方程组xAx的解2并求expAtdy3dy()4xy8y20４、dxdxdy2xy５、求方程dx经过（0，0）的第三次近似解dxdyxy1,xy5求dtdt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.1.三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案一填空题MNMNyxyx(x)(y)１、NMdyp(x)y2Q(x)yR(x)２、dxyyzdyp(x)yQ(x)yn(n1)p(x)dxu(x,y)yne３、dxw[x1(t),x2(t),L,xn(t)]0４、nydn1dyndLaxna1n1n1dxany0５、dxdx(t)(t)C６、７、零稳定中心二计算
3、题MN1,1yx１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子2dy3y211dxxyelny(y)edy0222y，两边同乘y得yyx1xy3ydxdyc2yyy所以解为y26.c2xy(y2c)27.即另外y=0也是解2２、线性方程xxy的特征方程10故特征根if1(t)sinti是特征单根，原方程有特解xt(AcostBsint)代入原方程1A=-2B=0f2(t)cos2t2i不是特征根，原方程有特解1AxAcos2tBsin2t代入原方程3B=011xccostcsinttcostcos2t12所以原方程的解为23212p()690143n2３、解：解得1,2此时k=111i1
4、3tti13t1t(12)v(t)e(A3E)e2i!22t(12)i0n1ittie(AE)i!由公式expAt=i0得10111ttexpAte3tEt(A3E)e3tte3t0111t1t3dy8y2dxxdydyp38y24ypx４、解：方程可化为dx令dx则有4yp（*）dp22y(p34y)p(8y2p3)4y2p（*）两边对y求导：dy2dpdp1p2(p34y)(2yp)02yp0y()pcy2即dy由dy得即c将y代入c22px24cc22pp2xy()2（*）4c即方程的含参数形式的通解为：cp为参数143yxp34y20p(4y2)3又由得代入（*）得：27也是方程的解1
5、.y002xxyxdx2.0022x2x5xx13.y0(x)dx04220xx410x7x2x5x118yxx14.0(x)dx５、解：04400202204400160dxxydtxy10dyxy６、解：由xy50解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dt1111因为=1+10故有唯一零解（0，0）112211222011由得1i故（3，-2）为稳定焦点。三、证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：x1(t0)1,x2(t0)0,LL,xn(t0)0x'(t)0,x'(t)1,LL,x(t)01020n0LLLLLLLLLLLLLLLxn1(t)0,
6、xn1(t)0,L,xn1(t)11020n010L001L0w[x1(t0),x2(t0),L,xn(t0)]10LLLL00L1考虑xi(t)(i1,2,Ln)从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.f(x).(y)分别为x.y的连续函数。P(x).Q(x)为x2、形如的方程，称为伯努利方程，这里的连续函•是常数。引入变量变，可化为线性方程。数.n换L0,使得不等式3、如果存在常数对于所有（x,y1),(x,y2)R都成立，L称为利普希兹常数。函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希兹条件。,a,是常数。4、形如-的方程，称为欧拉
7、方程，这里a12(t)是xAx的基解矩阵，(t)是xA(t)xf(t)5、设的某一解，则它的任一(t)可表为解-。二、计算题40%dyy26xy的通解。1、求方程dxxdyyxye2、求方程dxx的通解。2t3、求方程x''6x'5xe的隐式解。dy2xy通过点（0、0）的第三次近似解。4、求方程dx三、证明题30%012tt22x16.2t1'2x试验证t=是方程组x=ttx,x=2，在任何不包
