常微分方程试题库试卷库.doc

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1、.常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关

2、系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、２、３、若试求方程组的解并求expAt４、５、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题１、　　　　２、　　　　　　　　３、　　　　　　　４、....５、６、　７、零　　　　　　稳定中心二计算题１、解：因为，所以此方程不是

3、恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解２、线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为３、解：解得此时k=1由公式expAt=得....４、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解５、解：６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、   证明题由解的存

4、在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：....考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2) 一、填空题30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解_____________-。二、计算题40%1、求方程2、求方程的

5、通解。3、求方程的隐式解。4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t-t)其中t为某一值..... 《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题（每空5分）12、z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性

6、方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、....解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)==(t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t-t)是基解矩阵。（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t=t时，(t)(t)=E,(t-t)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t-t)常微分方程期终试卷(3)

7、一.解下列方程(10%*8=80%)1.1.   2xylnydx+{+}dy=02.=6-x3.=24.x=+y5.5.   tgydx-ctydy=06.6.   {y-x(+)}dx-xdy=07．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二．证明题(10%*2=20%)....9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、

8、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：1.解：=2xlny+2x,=2x,则==,故方程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=