常微分方程试试题库试卷库

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1、.常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是__________________________

2、___。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、２、３、若试求方程组的解并求expAt４、５、求方程经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（１０％）１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题１、　　　　２、　　　　　　　　３、　　　　　　　４、..５、６、　７、零　　　　　　稳定中心二计算题１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解２、线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程

3、有特解代入原方程B=0所以原方程的解为３、解：解得此时k=1由公式expAt=得..４、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解５、解：三、   证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2) 一、填空题30%..1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数_____________对于所

4、有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解_____________-。二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t-t)其中t为某一值. 《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题（每空5分）12、z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得..代入原方程得到，这是

5、线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)..是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)==(t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t-t)是基解矩阵。（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t=t时，(t)(t)=E,(t-t)=（0

6、）=E.故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t-t)3、设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。3、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以　　　也是方程的基解矩阵，且也是方程　的基解矩阵，且都满足初始条件，所以 常微分方程期终考试试卷（5）一．填空题（30分）1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为_________。 2．函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果_______。3．若为毕卡逼近序列的极限，则有______。4．方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_______。 5．函数组的伏朗斯基行列式为_______。6．若为

7、齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。7．若是的基解矩阵，则向量函数=_______是的满足初始条件的解；向量函数=_____是的满足初始条件的解。8．若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵=______是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9．满足_______的点，称为驻定方程组。..一． 计算题（60分）10．求方程的通解。11．求方程的通解。1