(完整版)数学模型作业2013 .doc

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1、作业：1、设数科院有1000名学生，其中235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼.现要组成一个10人的学生委员会，试用Q值方法给出较为合理的名额分配方案.解：（1）参数假设：记各楼人数为：pA235，pB333，pC432，总人数p1000，席位数n10.(2)先按百分数方案有：npAABn2.35，npnp3.33，npnp4.32pBCC取整后得一次分配nA2，nB3，nC4.(3)对第10个席位按Q值方法计算得:pQA22352A9204.167nA(nA1)23pQB23332B9240.75n

2、B(nB1)34pQC24322C9331.2nC(nC1)45由于QC最大，所以第10个席位应分配给C楼.（4）结论：A楼、B楼、C楼的分配席位分别为2,3,5.总共10个席位.2、建立三层玻璃窗减少热量损失之功效的数学模型并给出定量分析（设玻璃厚度为d，两层玻璃间空气厚度为l，玻璃热传导系数为k1，空气的热传导系数为k1kk2，且216，建筑规范要求lhd4）解：模型假设(1)假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的．(2)室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态．(3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数．(

3、1)由内到外的温度依次记为模型建立T1，Ta，Tb，Tc，Td，T2.在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T，则单位时间由温度高的一仍向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与T成正，与d成反比，即QKTd．(K为热传导系数)(1)由(1)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为T1TaQK1dTaTbK2lTbTcK1dTcTdK2lTdT2K1d(2)对于厚度为3d的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为QK1T1T23d(3)模型求解从(2)式中消去Ta、Tb，Tc，Td可得QK1

4、(T1d(2sT2)，3)shK1，hlK2d(4)(3)与(4)相比二者之比为Q3Q2s3(5)显然QQ.模型验证与分析K116K2~32由(4)、(5)式可得QQ3，hl32h3d(6)摸型应用这个模型具有一定应用价值．制作双层玻璃窗虽然工艺复杂，会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求hl4．按照这个模型，dQ3Q1310.023即三层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97.7％左右.3、设有一个容积为1500升圆柱形的桶，桶内盛有900升的水。如果将它水平地放置在地(如图)

5、，问水面有多高？请你用自已的方法给出问题的近似解答。RxH解：参数假设：L:圆桶的高度；R:底面半径；H：水面高度；x：为图中所示扇形的圆心角.模型建立：因15002900故桶内未装水的部分的容积为:2(1R2x241R2sin2x)L600其中R另HLR(11500cosx)2代入上式得:xsinx05模型求解：用Newton切线法可求出方程的近似根为x*2.8248,代入HR(1cosx)得2H1.1577R4、某吊车的车身高为1.5m，吊臂长15m，现要把一个宽6m，高2m的正方形箱子，水平地吊到高6m的房

6、顶(如图所示)，问能否吊得上去？BF6m2my1.5mA解：参数假设：设车身高为h，吊臂长为l，与水平线的夹角为，箱子的宽为2a，高为b，其下边离地面的距离为y.模型建立：当y达到最大时的应使得箱子与吊臂正好接触于点F，此时有hlsinatanby所以y()lsinatanhb即为所解决问题的数学模型。模型求解：由y()lcos1asec2，令y()0,得cos3a，所以，有唯一的驻点larccosa3，由问题的实际含义知，肯定是y的最大值点.0化简得ymaxiy(0)lsin00()atan0hb=l1

7、cos2asec01hb=l120a3al2l31hba22=l3a344l3a3hb=摸型应用2(l323a3)2hb当房顶的高度H吊到上面去；ymax时，箱子可以吊到上面去；当Hymax时，箱子不能取h1.5，l15，a3，b2代入上式得：ymax2(1532333)21.523421.527.5(m)由于ymaxH6(m)，所以箱子可以吊到上房顶上面去。5、上海东方明珠电视塔是目前亚洲最高的电视塔，它有460米高，若把它的信导传播到1100千米外的北京，行吗?(地球半径约为6371千米)若用

8、一座电视塔直接传输到北京，须建高度为多少米的电视塔?模型分析这是一个既有常识性又带科学性的问题，首先要将电视塔及电视信号的传输，扩大想象到整个地球空间，展开空间想象，抽象出相应的数学模型．将地