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1、《线性系统理论》作业参考答案1-1证明：由矩阵é010L0ùêú001L0êúA=ê000L0úêúêMMMOMúê-a-a-aL-aúënn-1n-21û则A的特征多项式为l-10L0l-10L00l-1L00l-1L0n+1n-1lI-A=00lL0=l00lL0+(-1)a(-1)nMMMOMMMMOMaaaLl+aaaaLl+ann-1n-21n-1n-2n-31l-10L00l-1L02nn-2=l00lL0+l(-1)a(-1)+a=Ln-1nMMMOMaaaLl+an-2n-3n-41nn-1=l
2、+al+L+a1n若l是A的特征值，则iéli-10L0ùé1ùé0ùêúêúêú0l-1L0l0êiúêiúêú2(lI-A)u=ê00lL0úêlú=ê0ú=0iiiiêúêúêúêMMMOMúêMúêMúêaaaLl+aúêln-1úêln+aln-1+L+aúënn-1n-2i1ûëiûëi1inû2n-1T这表明[1llLl]是l所对应的特征向量。iiii1-2根据矩阵函数的不同定义有如下两种证法：¥k证法1：一元函数f(li)展开成幂级数：f(li)=åcklik=0¥k矩阵函数f(A)幂级数表示为
3、：f(A)=åckAk=0kk由于l为A的特征值，所以l为A的特征值，k=1,2,Lii设l对应的特征向量为g，则ii¥¥¥kkkf(A)gi=åckAgi=åckligi=(åckli)gi=f(li)gik=0k=0k=0所以f(l)是f(A)的一个特征值。i证法2：根据矩阵函数定义，设p(l)是函数f(z)在l(A)上的Hermite插值多项式，则-1f(A)=p(A)=Pdiag(p(J),Lp(J))P，1s因为p(l)=f(l)，所以p(J)=f(J),i=1,2,L,s。ii其中é1¢1(ni-1
4、)ùp(l)p(l)Lp(l)êi1!i(n-1)!iúiêúp(l)OMp(J)=êiúiê1úOp¢(l)ê1!iúêëp(l)úûini´nié1¢1(ni-1)ùf(l)f(l)Lf(l)êi1!i(n-1)!iúiêúf(l)OMf(J)=êiúiê1úOf¢(l)ê1!iúêëf(l)úûini´ni-1f(A)=p(A)=Pdiag(f(J),Lf(J))P。1s可以看出，f(l)是f(A)的一个特征值。i441-3解：(1)特征多项式为D(l)=(l-l)，最小多项式为Y(l)=(l-l)；11
5、1124(2)特征多项式为D(l)=(l-l)(l-l)(l-l)=(l-l)，111112最小多项式为Y(l)=(l-l)；11224(3)特征多项式为D(l)=(l-l)(l-l)=(l-l)，11112最小多项式为Y(l)=(l-l)。11é110ùé111ùé11i-1ùêú2êúiêú1-4解：由矩阵A=001,A=001，根据数学归纳法，设A=001，êúêúêúêë001úûêë001úûêë001úûé11i-1ùé110ùé11iùé11100ùi+1iêúêúêú101êú则A=AA=001
6、001=001也成立，所以A=001；êúêúêúêúêë001úûêë001úûêë001úûêë001úûT又有A存在特征值l=l=1,l=0，当l=l=1时，基础解系为[011]只有一个，12312és-1-10ùêú可以用求逆矩阵法，(sI-A)=0s-1，êúêë00s-1úûé111ùês-1s(s-1)s(s-1)2úés(s-1)s-11ùêú(sI-A)-1=adj(sI-A)=1ê0(s-1)2s-1ú=ê011údet(sI-A)s(s-1)2êúêss(s-1)úêë00s(s-1)úû
7、ê1úê00úës-1ûttttéee-11-e+teùAt-1-1êtú所以e=L[(sI-A)]=ê01e-1ú。ê00etúëû-1p´p1-5证明：因为D存在，所以由DÎR-1-1éABùéI-BDùéABùéABDC-0ùA-1detêú=detêúêú=detêú=detDdet(ABDC-)ëCDûë0IDûëCDûëCDûp´qq´p1-6证明：由AÎR,BÎR得éAIpùéBIqùéIp+AB0ùéBA+IqBù令C=êú,D=êú，则CD=êú,DC=êú，I0I-ABI0Iëqûëpûëq
8、ûëpû所以detCD=detDC，即det(I+AB)=det(I+BA)。pq-té0eù1-7(3)解：由x&=êúx，取x(t0)=I，则ë00û-t-tìx&=ex,x(t)=1ìx&=ex,x(t)=011211101222120í，íx&=0,x(t)=0x&=0,x(t)=1î21210î22220解得ìx=1ìx=-e-t+e-t0é1-e-t+e-t0ù1112í，
