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1、1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分）2221．分解因式：x-4xy+4y-4z.22解：原式=（x-2y)-(2z)=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r，则底面周长2πr=a2aa2a则r,体积r2aa.2243.求函数ylg(2x)的定义域解：∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域00004.不查表求cos80cos35+cos10cos55的值
2、00000002解：原式=sin10cos35+cos10sin35=sin(10+35)=sin45=21135.化简：12(4ab)1.42342(0.1)(ab)二.（本题满分14分）41b2.解:原式22已知方程25kx+y=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>12时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=;k②k=1时,为半径r=2的圆;2③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2k如图：YYYk=2Ak=1(0,2)k=1/42)k=0时，方OAXOBX
3、OX2程为y=4图形是两条平行于x轴的直线y222如图xy144k3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图：YY三．（本题满y=2k=-4A分14分）OOXBX（如图）ABy=-2是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，2求证：1)CD=CM=CN.2)CD=AM·BN01)证：连CA，CB，则∠ACB=90∠ACM=MC∠ABC∠ACD=∠ABCNAB∴∠ACM∠=ACD∴△AMC≌△ADCD∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN02）∵CD⊥AB，∠ACD=902∴CD=AD·DB由1）
4、知AM=A，DBN=BD2∴CD=AM·BN四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=23求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于43求三角形各边a,b,c的长（提示：2必要时可验证(13)423）解:ABC180又2BAC.B60,AC120QtgAtgC23(1)而tgAtgC(1-tgAtgC)tg(AC)(-1-3)(3)33.(2)2由(1)(2)可知tgA,tgC是x(33)x230的两根.解这方程得:x11,x223设AC,则得tgA1,tgC23.A45,C12045754343又知c上的高等于43,a8;b46
5、;sin60sin45cADDBbcos45acos60434.六．（本题满分20分）222由3sin2sin1,得:3sincos2.由3sin22sin20,得:sin23sin23sincos..2222242sin2cos9sincos9sin9sin1.1sin(为锐角)七．（本题满32sin(2)sincos2cossin2sin(3sin)cos(3sincos)223sin(sincos)3sin1.2分20分，文科考生不要求作此题）22已知函数y=x+(2m+1)x+m-1(m为实数）1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都
6、在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：22m14m54m5yxy的极小值为.2445所以当极值为0时,4m50,m42m14m52.函数图象抛物线的顶点坐标(,),为24即x-2m1m1,y4m5m5,22443二式相减得:xy.此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图象是一条4直线,方程中不含m,因此,不论m是什么值,抛物线的顶点都在这条直线上.当m1,0,1时,x,y之间函数关系为112512932y(x),y(x),y
7、(x)图略.4242423.设L：x-y=a为任一条平行于L1的直线22与抛物线y=x+(2m+1)x+m-1方程联立求解，消去y，得222x+2mx+m-1+a=0∴（x+m)=1-a因而当1-a≥0即a≤1时，直线L与抛物线相交，而a＞1时，直线L与抛物线不相交当a1时,xm1a.即直线L与抛物线两交点横坐标为m1a,m1a.因直线L的斜率为1,它的倾斜角为45直线L被抛物线截出的线段等于[(m1a)(m
