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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。非线性规划如果目标函数或约束条件中含有一个或多个是变量的非线性函数,我们称这类规划问题为非线性规划(nonlinearprogramming,可简记为NP)。一般地,解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多,因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法,非线性规划当前还没有适合于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的应用范围。非线性规划的基本概念和基本原理第一节非线性规划的数学模型例:某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器,按规格要求,上下底的材料为2
2、5元/m2,侧面的材料为40元/m2,试确定长、宽、高的尺寸,使这个容器的成本最低。设容器的长为x1,宽为x2,则高为1x1x2。根据题意得:minf(x1,x2)50x1x21(x1x2)]80[x1x2x1,x20例:某公司经营两种设备,第一种设备每件售价30元,第二种设备每件售价为450元,根据统计,售出一件第一种设备所需营业时间平均为0.5小时,第二种设备为20.25x2时,其中x2是第二种设备的售出数量,已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时,试决定使其营业额最大的营业计划。解:设该公司计划经营第一种设备为件,第
3、二种设备为件,根据题意得:maxf(x1,x2)30x1450x20.5x1(20.25x2)x2800x1,x20由这两个例子能够看出,这两个例子在高等数学中代表了两类不同类型的极值问题。例1是无条件极值;例2是有条件极值。资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。如果令X(x1,x2,,xn)是n维空间E(n)上的点,则一般非线性的数学模型为:minf(X)hi(X)0,i1,2,,mgj(X)0,j1,2,,lf(X)为目标函数,hi(X)，gj(X)为约束条件,X为自变量。若某个约束条件是“”的不等式,
4、不等式两边乘以”-1”。第二节极值问题设f(X)是定义在n维欧式空间空间E(n)上某一区域上的n元函数,其中X(x1,x2,,xn)。对于X*,如果存在某一个0,使得所有与X*的距离小于的X,(即X，且XX*),均满足f(X)f(X*),则称X*为f(X)在上的局部极小点。f(X*)为局部极小值。若所有XX*,且XX*，X,有f(X)f(X*),则称X*为f(X)在上的严格局部极小点。f(X*)为严格局部极小值。若点X*,对于所有的X,均满足f(X)f(X*),则称X*为f(X)在上的全局极小点。f(X*)为全局极小值。若对于所有
5、XX*,且X,都有f(X)f(X*),则称X*为f(X)在上的严格全局极小点。f(X*)为严格全局极小值。如果将上述不等式反向,即可得到局部极大值与全局极大值的定义。定理1:极值的必要条件设f(X)是定义在E(n)上某一区域上的函数,X*是内的一点,若f(X)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。在X*处可微且取得局部极值,则必有f(X*)f(X*)f(X*)0x1x2xn或f(X*)＝（f(X*)，f(X*)，，f(X*)T上式的点称为驻点,或平x1x2xn）＝0,稳点。即在区域内部,极点必是驻点。f(X
6、*)称为f(X)在点X处的梯度。但反过来,驻点不一定是极值点。如点(0,0)是函数f(x1,x2)x13x23的驻点,但不是极值点。定理2:极值的充要条件设f(X)是定义在E(n)上某一区域上的函数,且在上二次连续可微,X*是内的一点,若f(X)在X*处满足f(X*)＝0,且对任意非零向量Y,有YTH(X*)Y0则称f()在点X*处取得严格局部极小值。这里(*)是XHXf(X)在点X*处的海赛矩阵。若YTH(X*)Y0,则f(X)在点X*处取得严格局部极大值。由定理2看出,驻点处的海赛矩阵H(X*)是正定矩阵时,函数f(X)在点X
7、*处取得极小值。驻点处的海赛矩阵H(X*)是负定矩阵时,函数f(X)在点X*处取得极大值。定理3:设f(X)是定义在上的函数,且在点X处存在二阶连续偏导数,若X是f(X)的局部极小点,则f(X)0,且H(X)半正定。需要指出的是,定理2不是必要条件,定理3不是充分条件。例:对于无约束问题minf(X)x142x12x22x24(x12x22)2解:由于f(X)(4x134x1x22,4x12x24x23)令f(X)0,得驻点X＝(0,0),资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。12x24x28xx2H(X)
8、121而且8x1x24x1212x22,因此H(X)＝0000H(X)不是正定矩阵,但f(X)在点X处取得最小值,即X为f(X)严格局部极小点。min()13132例:fX3x13x2x2x1解:由于f(X)(x121,x222x2)T令f(X)0
