管理类联考初数《整除》详解.docx

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1、http://www.hengshor.com管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而余数为零时，则称a能被b整除，或b能整除a，记作b∣a。　　　　当b∣a时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。　　　　　0能被任何整数整除，1能整除任何整数。整除的性质：1、传递性：若a∣b，b∣c，则a∣c2、可加可减性：若a∣b，a∣c，则a∣（b±c）3、可乘性，若a∣b，则a∣m×b4、可拆性：若ab∣c，则a∣c，b∣c5、★互质可除性：若a∣mb，且（a，m）=1，则a∣b（注：

2、（a，m）即两数的最大公因数，（a，m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）例1：若a∣b，b∣c，则当m=（）时，m∣c。（A）（B）（C）（D）（E）解析：令例2：是一个整数。http://www.hengshor.com（1）是一个整数，且也是一个整数；（2）是一个整数，且也是一个整数。解析：利用整除性质做题条件（一）是一个整数，14∣3n，由于（14，3）=1，所以14∣n条件（二）是一个整数，n∣7，根据整除性质无法推出n∣14。所以选（A）整除的

3、特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。例3：数A能被11整除。（1）A是形如abcabc的数（a是1~9的整数，b、c均为0~9的整数）；（2）A=解析：直接利用整除特征做题条件（1），利

4、用末三位法，abc－abc=0，11∣0，所以abcabc是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31http://www.hengshor.com－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数（）（A）一定是4的倍数（B）不一定是4的倍数（C）一定不是4的倍数（D）一定是2的倍数，不一定是4的倍数（E）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有

5、同学A1，和他（她）同性的仍记为A2，异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。推广：连续n个数乘积一定是n！的倍数。例5：若是一个大于100的整数，则一定有约数（）（A）5（B）6（C）7（D）8（E）以上均不正确解析：利用连续n个数乘积可被n！整除原则。=，有定理：连续个数的乘积一定能被整除。所以既能被2整除，又能被3整除，故选B。练习题：1.从1到120的自然数中，能被3整除

6、或被5整除的数的个数是（）个。（A）64（B）48（C）56（D）46（E）55http://www.hengshor.com2.如果是3的倍数，是2的倍数，那么必然是（　　）的倍数。（A）4（B）5（C）6（D）7（E）93.。（1）且；（2）且。4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（）（A）858（B）855（C）852（D）849（E）8685.是整数。（1）若（p，q是互质的正整数），是一个整数；（2）若（p，q是互质的正整数），是一个整数。6、若，则（）（A

7、）必然是2的倍数（B）必然是3的倍数（C）必然至少是6的倍数（D）必然不能被任何数整除（E）不一定是某个数的倍数7、有（）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。（A）10（B）7（C）8（D）5（E）6http://www.hengshor.com8、下面说法中有（）是正确的。（1）0可以被任何整数整除；（2）如果则；（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么必然也是7的倍数。（是正整数）（A）0（B）1（C）2（D

8、）3（E）4练习题讲评：1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。选（C）2、显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C）。3、两个数互为倍数