2021届新高考高三数学新题型专题02 数列解答题 开放性题目 第三篇（解析版）.docx

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1、第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题02数列解答题典型母题题源2019·山东高三试题内容在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？试题解析因为在等比数列中，，，所以其公比，从而，从而．若存在，使得，即，从而；同理，若使，即，从而．（方法一）若选①：由，得，所以，当时满足，且成立；若选②：由，且，所以数列为递减数列，故不存在，且；若选③：由，解得，从而，15/15所以当时，能使，成立．（方法二）若选①：由，得，所以公差，，从而；，解得，又，

2、从而满足题意．试题点评本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题.方法归纳解决有关数列的解答题，要熟记等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、性质，解决问题时除了运用这些之外，还要注意基本量运用。另外数列是特殊的函数，在解决问题时，注意函数思想的运用。15/15【针对训练】1.已知等比数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.【答案】（1）当时：；当时：（2）（3）【解析】（1）

3、当时：当时：（2）数列为递增数列，，两式相加，化简得到（3）15/15设原式（为奇数）根据双勾函数知：或时有最大值.时，原式时，原式故2.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1)通项公式为或;(2)当时，不存在满足题意的正整数；当时，存在满足题意的正整数，其最小值为.【解析】（1）依题意，成等比数列，故有，∴，解得或.∴或.（2）当时，不存在满足题意的正整数；15/15当，∴.令，即，解得或（舍去），∴最小正整数.3.为等比数列的前项和，已知，，且公

4、比.（1）求及；（2）是否存在常数，使得数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由题意得，解得，所以，.（2）假设存在常数，使得数列是等比数列，因为，，，又因为，所以，所以，此时，，15/15则，故存在，使得数列是以为首项，公比为3的等比数列.4.已知数列满足，，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)的最小值为3.【解析】（1）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.（2）由

5、，所以，15/15所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.5.在数列中，.(1)若存在常数，使得是公比为3的等比数列，求的值；(2)对于（1）中的，记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意，，即.又，所以.解得（2）由（l）知，若设，是首项为3，且公比为3的等比数列，故，即，故所以.①②15/15②-①得故6.已知数列满足：，，且．（1）求数列前20项的和；（2）求通项公式；（3）设的前项和为，问：是否存在正整数、，使得？若存在，请求出所有符合条件的正整数对，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）所有的

6、符号条件的正整数对，有且仅有和两对，理由见解析.【解析】（1）（2）当是奇数时，；当是偶数时，．所以，当是奇数时，；当是偶数时，．又，，所以是首项为1，公差为2的等差数列；是首项为2，公比为3的等比数列．因此，15/15（3），．所以，若存在正整数、，使得，则．显然，当时，；当时，由，整理得．显然，当时，；当时，，所以是符合条件的一个解．当时，．当时，由，整理得，所以是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符号条件的正整数对，有且仅有和两对．7.设数列的前项和为，对于任意的，都有.（1）求数列的首项及数列的递推关系式；（2）若数列成等比数列，求常数的值，并求数列的通项公式

7、；（3）数列中是否存在三项、、15/15，它们组成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2），的通项公式为，；（3）不存在满足条件的三项，理由见解析.【解析】（1）对于任意的，都有.令，则，解得；当时，则，化简得，即，故数列的递推公式为；（2）由（1）知，，则，由题意，故当，且时，数列是等比数列，所以，当时，数列成等比数列.此时，，故，即，.综上，，数列的通项公式为，；（3）假设、、成等差数列，则，即，所以，从而，因为、、且，故为偶数，而为奇数.所以，不可能成立，即不存在满足条件的三项.8.已