圆锥曲线的综合问题(教师版)

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1、圆锥曲线的综合问题知识要点梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；（2）求平面曲线的方程和轨迹；（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。疑难点、易错点剖析1．与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围

2、；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数值域求参数变化范围．2．圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．直击考点考点一直线与抛物线的综合问题【例1】如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.1）写出直线l的截距式方程；2）证明：；3）当a=2p时，求∠M

3、ON的大小.剖析：易知直线l的方程为，欲证，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得由得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°.（1）解：直线l的截距式方程为①（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0.②点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.所以（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2px2

4、，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2===4p2，因此k1k2===－1.所以OM⊥ON，即∠MON=90°.锦囊妙计：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.举一反三：如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.第6页共6页解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，∴22=2p·1，得p=2

5、.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=－1.（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA=（x1≠1），kPB=（x2≠1）.∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=－kPB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1，①y22=4x2，②∴=－.∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4.由①－②得直线AB的斜率kAB===－=－1（x1≠x2）.考点二函数最值与椭圆的综合问题例2】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求椭圆方程，并求椭圆上到点P的

6、距离等于的点的坐标.思路分析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定.由e2===1－（）2可知===，即a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+=4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b.如果b＜，则当y=－b时d2（即d）有最大值，由题设得（）2=

7、（b+）2，由此得b=－＞，与b＜矛盾.因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P的距离都是.锦囊妙计：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.举一反三：1.对于上例，根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.提示：由x2+（y－）2=7，x2+4y2=4b2，得3y2+3y－=4