高数下第十二章级数教学资料.ppt

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1、高数下第十二章级数2.级数的收敛与发散:解收敛发散发散发散综上解3、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散证明级数收敛的必要条件:性质5注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.但发散.二、正项级数及其审敛法2.正项级数收敛的充要条件:定理正项级数3.比较审敛法解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.证明4.比较审敛

2、法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;解原级数发散.故原级数收敛.比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法级数收敛.三、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.四、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明上定理的作用：任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛.四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充

3、要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;思考题思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.五、函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:函数项级数的部分和3.和函数:解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;六、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:几何说明收敛区域发散区域发散区域推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定例2求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛区间为(0,1]

4、.解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为3、幂级数的分析运算(收敛半径不变)(收敛半径不变)解两边积分得练习题练习题答案七、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:（2）验证：例1解由于M的任意性,即得例2解2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐

5、项积分等方法,求展开式.例如例4解练习题练习题答案此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢