第六章集合代数ppt课件.ppt

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1、6.1集合的基本概念方程x2-1=0的实数解集合,1和-1是该集合的元素;26个英文字母的集合,a,b,…,z是该集合的元素;坐标平面上所有点的集合;<0,0>,<0,1>,<1,1>是该集合的元素;常用的集合名称:N:自然数集合(本课程中认为0也是自然数)Z:整数集合Q:有理数集合R:实数集合C:复数集合集合(Set)是一些个体汇集在一起所组成整体.通常把整体中的个体称为集合的元素或成员.例如:集合是不能精确定义的基本概念。集合有三种表示方法:列元素法、谓词表示法和图示法.列元素法:列出集合中的所有元素,各元素之间用逗号隔

2、开,并把它们用花括号括起来.例如A={a,b,c,…,z}Z={0,±1,±2,…}谓词表示法:用谓词来概括集合中元素的属性.例如:B={x

3、xR且x2-1=0}集合B表示方程x2-1=0的实数解集.许多集合可用两种方法来表示,如:B={-1,1}.有些集合不能用列元素法表示,如:实数集合,不能列举出所有集合中的所有元素.图示法:用一个圆来表示,圆中的点表示集合中的元素.6.1集合的基本概念集合的元素是彼此不同的.若同一个元素在集合中多次出现,则只认为其是一个元素;如:{1,1,2,2,3}={1,2,3}集合的元素是无序的

4、,如:{3,1,2}={1,2,3}本书规定:集合的元素都是集合.6.1集合的基本概念元素(Element)和集合之间的隶属关系:“属于”或“不属于”.“属于”关系记作,“不属于”记作.例如:A={a,{b,c},d,{{d}}}.aA,{b,c}A,dA,{{d}}A,bA,{d}A.b和{d}是A元素的元素.为了体系的严谨性,规定:对任何集合A,都有:AA.A={a,{b,c},d,{{d}}}的树形图表示.a{b,c}Ad{{d}}bc{d}d6.1集合的基本概念如果B不被A包含,则记作BA.包含的

5、符号化表示为BAx(xBxA)例如:NZQRC,但,ZN.显然,对任何集合A,都有:AA.包含关系表示集合之间的关系;隶属关系表示元素和集合之间的关系,但也可表示某些集合之间关系.如:{a}{a,{a}},{a}{a,{a}}定义6.1设A和B为集合,若B中的每个元素都是A的元素,则称B是A的子集合,简称子集(Subset),也可称B被A包含,或A包含B,记作BA.AB6.1集合的基本概念：等值的：蕴涵式定义6.2设A和B为集合,如果AB且BA,则称A与B相等,记作:A=B.若A与B不相等

6、,则记作:AB.相等的符号化表示为A=BAB∧BAx(xAxB)∧x(xBxA)定义6.3设A和B为集合,如果BA且BA,则称B是A的真子集(ProperSubset),记作BA.若B不是A的真子集,则记为:BA.真子集的符号化表示为:BABA∧BA例如:NZQRC,但,NN.6.1集合的基本概念定义6.4不含任何元素的集合叫做空集,记作:.空集可以符号化表示为:={x

7、xx}.例如:{x

8、xR∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集,因为该方程无实数解,所以,其

9、解集是空集.定理6.1空集是一切集合的子集.任给一个集合A,由子集的定义可知:Ax(xxA)由于蕴涵式(xxA)的前件为假而使其成为真命题,所以,A.6.1集合的基本概念证假设:存在空集1和2.由定理6.1可知:12,21.由集合相等的定义可知:1=2.推论空集是惟一的.证例6.1A={1,2,3},将A的子集分类:假设有一个含有n个元素的集合A（n元集）,若集合A1是其子集且

10、A1

11、=m,则称子集A1为集合A的m元子集.对任给一个n元集合A,如何求出它的全部子集?0元子集,即空

12、集,只有一个:;1元子集,即单元集:{1},{2},{3};2元子集:{1,2},{1,3},{2,3};3元子集:{1,2,3}.由上面的例子,我们不难归纳出:对n元集合A,有:0元子集有Cn0个1元子集有Cn1个…m元子集有Cnm个…n元子集有Cnn个子集总数为Cn0+Cn1+…+Cnn=2n个定义集合A中元素的个数n为集合的势(Cardinality),记为

13、A

14、.6.1集合的基本概念全集是有相对性的,不同的问题有不同的全集,即使是同一个问题也可以取不同的全集.例如:在研究平面上直线的相互关系时,可把整个平面上所有点的

15、集合看作全集,也可把整个空间上所有点的集合看作全集.一般地说,全集取得小一些,问题的描述和处理会简单些.幂集的符号化表示为:P(A)={x

16、xA}.对于集合A={1,2,3},有:P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.