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1、1.1.1正弦定理一、情景导入：问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。AB问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类问题在数学里称为___________问题.解三角形C1、测出角A、C的大小2、量出AC的长度ABCabc正弦定理问题3：在Rt三角形中，角C=90o，如何定义sinA,sinB?那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？正弦定理可分为直角三角
2、形，锐角三角形，钝角三角形三种情况分析.当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,CABDabc同理，做BC边上的高可得CD=asinB=bsinA,则E所以，AE=bsinC=csinB即：对=斜sinθ(θ为锐角)当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,同理，做BC边上的高可得CD=asinB=bsinA,则所以，ＡＢＣＤacbEAE=bsin∠ACE=bsinC=csinB即：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即正弦定理=2R(R为ABC外接圆半径
3、)定理的应用例1：在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。，解三角形.（即求出其它边和角）解：得b==（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角=BACbca根据三角形内角和定理，（1）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=12。解三角形.练习：已知两角和任一边，求其他两边和一角.解：(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.（三角形中大边对大角）(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.（三角形中大边对大角）思考利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知
4、两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解练习：⑴若A为锐角时:已知a,b和∠Aa=b一解baBACH已知三角形两边和其中一边对角时，解的情况讨论：baACbaAC⑵若A为直角或钝角时:解三角形时解的情况:2正弦定理用途：解斜三角
5、形已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。实现三角形当中边角之间的转化作业、1、在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=求C，a，b.2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A、b、c.1.1.1正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即正弦定理变式:答案：C判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解
6、两解无解练习：答案：A解：代入已知条件，得：即3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosC，试判断△ABC的形状．解析：∵b＝acosC，由正弦定理得：sinB＝sinA·sinC.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC.即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC，∴cosAsinC＝0，在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2
7、C转化为边的关系式，从而判断△ABC的形状．例3RTX讨论六：已知两边及夹角，怎样求三角形面积？证明：∵BACDabc而∴同理∴ha数学建构三角形面积公式：互动探究3若本例中的条件“sinA＝2sinBcosC”改为“sin2A＝2sinBsinC”，试判断△ABC的形状．解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2.∴A＝90°.∵sin2A＝2sinBsinC，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.∴b＝c，∴△ABC为等腰直角三角形．【名师点评】判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形
8、、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．作业1、在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
