北京大学量子力学课件-第27讲.ppt

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1、第二十七讲Ⅰ.非简并能级的二级微扰当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了。由项得以进行标积得而所以，准至二级的能量和波函数显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选取，，而且要求例：刚体转子的斯塔克效应（StarkEffect）将体系置于外电场中，能级发生移动的现象称为StarkEffect。设：转子的角动量为，电偶极为，当置于均匀外电场中（取电场方向为z）显然因所以，尽管能级是简并的，但可用非简并微扰论的公式去求近似解。得由这可看出，简并部分解除（同不同的能量不同，但相同）和态仍简并，即重简并条（不简并，而

2、其他的为二重简并）。Ⅱ．碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应（1）碱金属光谱的双线结构碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作用，，价电子的哈密顿量为选力学量完全集则能量与无关。由于与对易，所以，可用非简并微扰论的公式去求近似解。一级微扰这即观测到的纳光谱的双线结构的原因。（2）反常塞曼效应在较强磁场中()，原子光谱线分裂的现象（一般分为三条），称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自旋－轨道耦合和项可忽也同样（因）。当磁场较弱时，与引起的附加能量可比较时，就不能忽略自旋－轨道相互作用项而仅考虑项。

3、这时，哈密顿量（在均匀外磁场下）取方向为方向，则(忽略)这时（简并度为，即对简并）[选]是磁场为零时的能量本征方程的本征值。当置入弱磁场（均匀，取方向），而引起能级移动，在一级微扰下所以，当放入弱磁场中，能级由根据偶极跃迁选择定则—有四条光谱线—有六条光谱线所以，这时每条能谱线的多重态是偶数；多重态的能级间距随不同能级而不同；而光谱线也是偶数条。（3）简并能级的微扰论当体系的一些能级是简并时，那考虑这些能级所受的扰动影响时，就不一定能利用上述公式，因这时初态不能确定处于那一个简并态上，而一级波函数修正当（即与简并的态）则

4、分母为零。另外二级微扰的能量也存在这一问题。事实上，由于零级是简并的，我们不知应从那一个态出发是正确的。所以，对简并能级的微扰问题的处理与非简并问题的处理，实质的不同在于零级波函数的选取。即要正确选取零级波函数。例：没有微扰的体系仅有一条能级，是二重简并（这二个态构成完全集）。若有微扰求的本征值，本征函数。在表象中有，相应波函数为如用非简并微扰论来求，从出发所以近似不好。如从出发，则一级微扰这近似就等于精确解。而所以，因此，要恰当选择零级波函数。A．零级波函数的选择设：能级有重简并，取零级波函数而（是正交，归一的）由方程

5、取到一级，得，方程）其中（注意：是代表的所有态）将与一次幂的方程标积为即要有非零解(即不都为)，则必须由这可解得代回方程可得，即相应于一级能量修正的零级波函数为（准至一级）这是一个什么样过程呢？从原则上讲，的解为因此在表象中，的矩阵维数为。在表象中是对角的。当考虑后，则有非对角元。如非对角元相同，则从上节知，能量差越大，其影响越小（扰动越小）。如非对角元为零，则对那一态就没有直接影响。当取到一级，求时，实际上把的态与的态之间的矩阵元都假设为零。在假设（）的近似下，即在的子空间对对角化，相当于能量准至一级，并同时确定正确的

6、零级波函数。显然，对于（）能量不同的态，可唯一地被确定，而中有相等的的态，其零级波函数仍不能唯一地确定。当然，这样一些波函数可经线性组合成为正交归一的波函数（但应注意，从这些态出发的微扰仍应由线性组合出发，不能单从一个态出发）。应该指出：1.新的零级波函数之间是正交的。证：(1)(2)以乘（1），并对求和以（2）式取复共轭，乘，对求和由于并交换得两式相减得当时，则即正交。如时，即可将它们正交、归一化。2．在子空间中是对角的（但这并不等于说是的本征态，本征值为）总之，由在（）中,对角化得到相应的波函数和对角矩阵元，即为零级

7、波函数（恰当的）和一级微扰能量。从而得到一组相互正交的零级波函数.从而得到一组个相互正交的零级波函数.相应能量为（加上零级能量）B．简并能级下的一级微扰：选定了正确的零级波函数后，对于所相应的波函数作微扰出发点，就可以当作非简并态进行微扰处理。现讨论（对所有）设：以标积的方程两边（简并态一级修正，就是在子空间对角化）。以标积方程两边（）以标积方程两边例:在均匀外电场中，氢原子能级的变化（斯塔克效应）考虑氢原子在外电场中的情况（在方向，忽略，即不考虑自旋）其中我们讨论氢原子状态的能级，因它是四重简并，即由于，所以，不改变的

8、本征值，即z的矩阵元仅在初、末态中的相同时才可能不为。是奇函数，所以仅初、末态宇称相反才可能不为0。所以，仅于是，可表为有解C．简并态的二级微扰方程为以标积D.进一步讨论1．一级微扰仅部分解除简并的讨论在讨论简并态的一级和二级微扰时，我们假设所处理的有()当一级微扰并未把简并完全解除。如氢原子置于均匀电场中，对能级就