北京大学量子力学课件-第13讲.ppt

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1、第十三讲Ⅰ.力学量算符的本征值和本征函数性质A.力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；B.相应不同本征值的本征函数是正交的C.Schmit正交化方法如果一个本征值An对应S个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit正交化方法来实现正交归一化。取使；取，显然，保证，且。同样有这必然有，且D.测量结果的几率在中测量力学量取值的几率为E.直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。如是力学量的本征函数组，则任一波函数可以以展开Ⅱ.连续谱本征函数“归一化”（1）连续谱本征函数“归一化”连续谱正交归一化的本征函数应

2、使其有“正交归一”的动量本征函数为“正交归一”的坐标本征函数而由由这可见（如已归一化），为测量取值在区域中的几率。(2)δ函数A.δ函数的定义和表示δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。其重要性和意义在积分中体现出来；它可用一函数的极限来定义。a0或a>0,b<0,则两式不等，从而可定出c，即☆☆若，但，

3、即不是重根。☆☆C.δ函数的导数δ函数具有任何级的导数，可以证明☆☆☆☆☆例：求之解.因,所以特解是而相应齐次方程是有解。从而得通解事实上应特别注意（3）本征函数的封闭性已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一和完备性，即（正交，归一）（完备）对于连续谱现来讨论本征函数的封闭性所以由此可见，上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明本征函数组可构成一δ函数。例1的本征函数有，即人们熟习的形式：例2的本征函数A.封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分、必要条件。若是完备的封闭性（必要条件）有封闭性完备的（充分条件）1．必要条件已证过2．充分条

4、件：有封闭性:,则任一波函数可按展开，所以，是完备的。B．本征函数的封闭性也可看作函数按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复共轭。§4.4算符的共同本征函数一次测量有一“涨落”两算符，在一个态中，一般都有涨落，，不同时为零。在什么条件下，，有共同本征函数组。(1)算符“涨落”之间的关系A.Schwartz不等式如果，,是任意两个平方可积的波函数，则证：令,，取，由得从而得：B.算符“涨落”之间的关系－测不准关系：如令证明例1,由于是一常数，所以在任何态下平均都不可能为0。我们有这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格

5、证明。例2但在态但这仅是某一特殊态。例3在态下这时（2）算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。证：设是的本征函数组。它们当然是完备的如S＝1，即不简并，于是当的本征函数组不简并时，则是它们的共同完备的本征函数组。当S>1，即有简并。无妨设的本征函数组为（这也是一完备组）。将展开这表明，是它们的共同本征函数。它们是完备的（对所有s,n,m集合）。因对任一波函数（3）角动量的共同本征函数组

6、―球谐函数因，它们有共同本征函数组。A．本征值：设：是它们的共同本征函数，则固定时，m有上，下限。由于，称为降算符。同理称为升算符（对而言）。由于，固定时，m有上，下限。若设为上限，为下限，则为上限，为下限，所以，只能取的本征值可取的本征值可取即，取这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。当然，自由粒子的角动量同样是量子化的。B．本征函数于是有解根据，所以而，即得现求归一化系数所以，归一化的本征函数显然，现先讨论的归一化问题，然后给出的具体形式。若是归一化的，则现求归一化的波函数所以，以此类推于

7、是得的共同本征函数组-球谐函数称为缔合勒让德函数（AssociatedLegendrefunction）。当给定，也就是的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数。其性质：1.正交归一2．封闭性3．所以，因此，4.宇称即5.递推关系(4)力学量的完全集量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？设：是力学量所对应的算符，并且对易如是的本征函数。