北京大学量子力学课件-第12讲.ppt

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1、第十二讲Ⅰ.算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。若,，则算符引入对易子：和的对易子对易子有如下性质并有在算符的运算时，要特别小心。已证明所以下面是一些有用的对易关系称为Levi-Civita符号。取值，为从123→ijk的对换数。如123→312的对换数2◎对易关系是与坐标选择无关◎对易关系与表象选择无关Ⅱ.算符的厄密性（Hermiticity）（1）算符复共轭：若对波函数（任意）有则称为的复共轭算符，以表示（2）算符的转置A.标积定义：若体系有两个波函数，其标积为对于标积，有性质☆☆☆☆则称这两波函数正交。B.转

2、置定义：算符称为算符的转置算符通常以算符表示算符的转置算符。即(3)算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以表示），(4)厄密算符:若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符。(5)厄密算符的性质A.厄密算符相加、减仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符。B.任何状态下，厄密算符的平均值必为实数C.在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。易证：若是厄密算符，则。Ⅲ.厄密算符的本征值和本征函数(1)算符的本征方程对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨落”

3、来定义，即由方均根来定义。要使“涨落”为零，即测量值只取确定值，则令这一特殊状态为我们称上述方程为算符的本征方程。显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态时，测量值即为本征值（这时“涨落”为0）。量子力学又一个基本假设：在量子力学中，力学量对应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只能是算符的本征方程的本征值。例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数。有解从是厄密算符得不出上述结论。例2求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数。固定转子的能量本征值和本征函数为（2）力学量算符的本征值和本征函数性质A.力学量的

4、每一可取值都是实数（即本征值）；B.相应不同本征值的本征函数是正交的证：取复共轭，则有由于是厄密算符，所以，即正交。这就使波函数对某力学量的本征函数展开时，是唯一的。C.Schmit正交化方法如果一个本征值An对应S个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit正交化方法来实现正交归一化。取使；取，显然，保证，且。同样有这必然有，且D.任何一个算符总可表示为两个厄密算符之和；其中(3)测量结果的几率现来计算测量力学量取值的几率。根据态叠加原理，如能测得，则体系所处的态必为所以表达式表明，在中测量力学量取值的几率为

5、。所以，要在一体系中（以描述），测量力学量，取值的几率振幅为(4)直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。如是力学量的本征函数组，则任一波函数可以以表示根据态叠加原理，体系处于态中，那进行力学量的测量。如测量值为，则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数的线性叠加态上。即§4.3连续谱本征函数“归一化”（1）连续谱本征函数“归一化”A.本征函数，本征谱（取分立值）（取连续值）B.任一波函数可按其展开（已归一化）（已归一化）C.所以，是一“奇异函数”。我们引入一个奇异函数，即，其定义，以及因此，如，则这就保证获得我们所需结果。所以，连续

6、谱归一化的本征函数应使其有例1：求“正交归一”的动量本征函数设：是平方可积，即可进行Fourier展开于是应有所以，“正交归一”的动量本征函数为事实上，由于物理波函数在无穷远为0于是有例2，求“正交归一”的坐标本征函数（自做）由本征方程的“正交归一”的坐标本征函数为它是完备的：D.表示在态中测量力学量的几率。因而由由这可见（如已归一化），为测量取值在区域中的几率。(2)δ函数A.δ函数的定义和表示δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。其重要性和意义在积分中体现出来；它可用一函数的极限来定义。a

7、得更为明确一些（对任意a）显然下面给出另一些δ表示式（作为函数参量极限）cB.δ函数的性质下面给出δ函数的性质，是表示当它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替。推论：如有方程A＝B，则例所以，由于对于a,b都大于零或都小于零，两式相等；但a>0,b<0或a<0,b>0,则两式不等，从而可定出c，即若，但，即不是重根。例于是有推论但是由这一矛盾或错误的来源是，是有条件的。为清楚看到这一点，取所以，这表明，无条件地由是不对的。仅当才成立。C.δ函数的导数δ函数具有任何级的导数，可以证明假设假设例：求之解.因,所以特解是而相应齐次方程是有

8、解。从而得通解事实上应特别注意，但（3）本征函数的封闭性已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一和完备性，即（正交，归一）（完备）对于连续谱下面我们来讨论本征函数的封闭性所以由此可见，上述表示式称