欧拉定理99617演示教学.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流欧拉定理认识欧拉　　欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研

2、究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，t

3、g，Σ，f(x)等等，至今沿用。　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......初等数论中的欧拉定理仅供学习与交流，如

4、有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流定理内容　　在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n)=1，则　　a^φ(n)≡1(modn)证明　　首先证明下面这个命题：　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S={a*x1(modn),a*x2(modn),...,a*xφ(n)(modn)

5、}　　则S=Zn　　1)由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此　　任意xi，a*xi(modn)必然是Zn的一个元素　　2)对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi≠xj　　则a*xi(modn)≠a*xi(modn)，这个由a、p互质和消去律可以得出。　　所以，很明显，S=Zn　　既然这样，那么　　（a*x1×a*x2×...×a*xφ(n)）(modn)　　=（a*x1(modn)×a*x2(modn)×...×a*xφ(n)(modn)）(modn)　　=（x1×x2

6、×...×xφ(n)）(modn)　　考虑上面等式左边和右边　　左边等于(a*（x1×x2×...×xφ(n)）)(modn)　　右边等于x1×x2×...×xφ(n)）(modn)　　而x1×x2×...×xφ(n)(modn)和n互质　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：　　a^φ(n)≡1(modn)　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1)≡a(modn)　　费马定理:　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1)≡1(modp)　　证明这个定理非常简单，由于φ(

7、p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p≡a(modp)平面几何里的欧拉定理定理内容　　设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品好文档，推荐学习交流证明　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心．　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．　　由圆幂定理知，R2

8、-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r即可．　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．拓扑学里的欧拉公式　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。　　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），