欧拉定理培训讲学.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流　　欧拉定理　　对于互质的整数a和n，有aφ(n)≡1modn　　证明：　　首先证明下面这个命题：　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合　　S={ax1modn,ax2modn,...,axφ(n)modn}　　则S=Zn　　1)由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此　　任意xi，aximodn必然是Zn的一个元素　　2)对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi≠xj　　则aximodn≠aximodn，这个由a、p互质和消去律可以得出。　　所以，很明显，S=Zn　　

2、既然这样，那么　　（ax1×ax2×...×axφ(n)）modn　　=（ax1modn×ax2modn×...×axφ(n)modn）modn　　=（x1×x2×...×xφ(n)）modn　　考虑上面等式左边和右边　　左边等于(aφ(n)×（x1×x2×...×xφ(n)）modn)modn　　右边等于x1×x2×...×xφ(n)）modn　　而x1×x2×...×xφ(n)）modn和p互质　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：　　aφ(n)≡1modn　　推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1≡amodn　　费马

3、定理　　a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1≡1modp　　证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap≡amodp欧拉公式仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9精品好文档，推荐学习交流　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系　　V+F-E=2　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。认识欧拉　　欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，

4、他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、

5、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f(x)等等，至今沿用。　　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V

6、+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......欧拉定理的意义　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律　　（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。　　（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度

7、量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9精品好文档，推荐学习交流　　定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。　　（4）提出多面体分类方法：　　在欧拉公式中，f(p)=V+F-E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f(p)=2。　　除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能

8、变为一个环面。其欧拉示性数f(p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。　　（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题　　如：为什么正多面体只有5种？足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等欧拉定理