解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆培训讲学.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆——山西大学附中刘嘉信一、概念与基本的推导化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。那如何实现这一点呢？这里我们以中心在坐标系原点O点，长轴在X轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b>0）：椭圆的标准方程为：将（1）式中左右两边同时乘以可得：我们可以设，代入（2）式消去y就有：这时，我们可以发现，（3）式中的形式就是xoz坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以a为半径的一个圆。这时我们就把一个xoy坐标系里面的椭圆成功的变成了一个xoz坐标系里面的一个比较特殊的圆。实际上，我们可以发现，这个方

2、法的本质就是把y轴人为地拉长为原来的倍，变成xoz坐标系。二、应用无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时，我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出或者是，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。但是，在我们把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些性质来解决一些问题。1、判断直线与椭圆的位置关系。比如我们已知一条直线L：我们还知道一个椭圆C：我们可以用上面的方法，设，代入（1）、（2）式得到：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品好文档，推荐学习交流

3、这时候，我们就可以看出来：（3）式是xoz坐标系里面的一条直线，而（4）式是xoz坐标系里面的一个圆心为（0,0）、半径为a的一个圆。这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C和直线L的位置关系。设d为（0,0）到（3）表示的直线L’的距离，则有：既然知道了一个圆圆心与一条直线的距离和这个圆的半径，那么二者的位置关系就十分好判断了。1、弦中点问题弦中点问题是我起的一个名字。在椭圆中这类问题可以用化椭为圆的方法来解决。由于从xoy坐标系变成xoz坐标系以后，原来的弦的中点仍然是中点，所以我们就可以连接圆心（即坐标原点）和这个中点，制造出一个垂直（弦的垂直平分线）。

4、下面我举个例子：【例1】已知椭圆C的标准方程为：，求该椭圆所有的斜率为2的弦的中点的轨迹方程。【解析】我们用上面的方法就可以把椭圆变成：。由于我们是要在xoz坐标系里面做工作，所以必须把直线也变进来。设这些弦所在的直线的方程为：，把y代换成z就有：。我们知道，圆里面弦的中点与圆心（这里是坐标原点）的连线与这条弦所在直线垂直，所以，很明显就有这些中点一定分布在直线上面，即。因为弦的中点一定在椭圆内部，所以我们只需再加上范围即可。不必再用原来的代入消元求解的方法，十分简洁。【例2】已知椭圆C的标准方程为：，P、Q为椭圆C上的两点，直线OP、OQ的斜率的乘积为。求

5、OP

6、+

7、

8、OQ

9、。【解析】设P，Q我们可以按照上面的方法把C的方程变成，于是在xoz坐标系里面，有：，。因为OP、OQ过原点，所以，；变成xoz坐标系后，因为、，所以、。又因为，所以有，即在xoz坐标系中，OP⊥OQ，所以。所以：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品好文档，推荐学习交流一、注意对于这种方法，我们必须注意两点：1、对于大多数给定某一个角度的题目，这个方法并不适用，因为角经过对y轴的拉伸之后就变了，失去了原来的集合性质，不适合用这种方法。对于求某一段距离的长的问题，如果用这种方法，就需要求出两个点的坐标，因为距离经过变换以后也可能变得不同。三角形中做辅

10、助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一

11、般有两种。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品好文档，推荐学习交流①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。1、仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4