傅里叶变换教学教材.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流这节我们利用傅里叶变换来求热传导方程柯西问题的解。1.傅里叶变换及其基本性质设f(x)是定义在上的函数，它在上上有一阶连续导数，则在中f(x)可以展开为傅里叶级数，（1）并且（2）将（2）代入（1）式，得到现设函数在上绝对可积，当时，由上式可得如记，则可形式地得到（3）积分表达式（3）称为的傅里叶积分。可以证明，若绝对可积，则在本身及其导数为连续的点，的傅里叶积分收敛于在该点的函数值。（3）式也可写成复数形式。由于是λ的偶函数，是λ的奇函数，可以将（3）式写成（4）于是，若令（5）就有（6）称为的傅里叶变换，记为F[f];称为的傅里叶逆变换

2、，记为。当在上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且其逆变换等于。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品好文档，推荐学习交流为了应用傅里叶变换求解数学物理方程的问题，我们介绍所需用到的一些关于傅里叶变换的基本性质，这里假设下面诸式中出现的傅里叶变换总是存在的。性质1傅里叶变换是线性变换，即对于任意复数α，β以及函数,成立（7）如果对给定的，当时，（8）存在，则称为与的卷积，记为。显然，，即卷积是可以交换的。关于卷积的傅里叶变换有性质2和的卷积的傅里叶变换等于和的傅里叶变换的乘积，即（9）从傅里叶变换和逆变换公式之间的相似性，可以类似地得到性质3和乘

3、积的傅里叶变换等于和的傅里叶变换的卷积乘以，即（10）性质4如果都是可以进行傅里叶变换的，而且当时，，则成立（11）性质5如果和都可以进行傅里叶变换，那么（12）2.热传导方程柯西问题求解我们利用傅里叶变换来解热传导方程的柯西问题视t为参数，先求解齐次热传导方程的柯西问题关于x进行傅里叶变换，记仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品好文档，推荐学习交流在（17）两边关于x进行傅里叶变换，利用性质4，就得到（19）类似地，由（18）式得（20）（19）、（20）是带参数的常微分方程，它的解为（21）函数的傅里叶逆变换为利用复变函数胡积分计算知因此，利用性质

4、2，由（21）可得柯西问题（17）-（18）的解为再求解非齐次热传导方程的柯西问题可得它的解为（25）南大港华宇加油站钢结构网架工程项目仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品好文档，推荐学习交流竣工资料河北昌鸿建筑安装工程有限公司二〇一六年三月仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4