分数傅里叶变换.doc

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1、分数傅里叶定义：分数傅里叶变换分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。Wigner分布函数空间中相当

2、于角度是pπ/2的分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。当分数傅里叶变换的幂次p从0连续增长到达1时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种

3、等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。当a=b时,上式就是二维分数傅里叶变换的表达式;当a=b=1时,上式转化为常规二维傅里叶变换;当a与b不相等时,我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。此时在x、y方向实施的变换级次是不同的。分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P级分数傅里叶变换后，接着进行－P级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数

4、值算法(1)基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来3阶数可加性：计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。其中W是离散傅立叶变换核矩阵(2)基于正交投影的离散化算法，对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite-Gaussian函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite特征向量。然后，(3)仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶变换矩阵。(2)基于chirp分解的离散化算法。根据分数傅立叶变换的表达式，将

5、分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT来计算分数傅立叶变换。2.2.1基于傅立叶变换矩阵对应的分数傅里叶函数：1)输入信号f(x)与啁啾信号相乘(j将两个信号分别离散化)；2)进行FT运算；3)进行尺度变换,系数为cscφ；4)再与啁啾信号相乘；5)最后与常数位相相乘。2基于正交投影的离散化算法(Disfrft.m和cdpei.m)其计算过程如下：1基于chirp分解的离散化算法（FRFT.m和frft22d.m）基于正交投影的离散化算法对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影

6、，得到一组与Hermite-Gaussian函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite特征向量。然后，仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶变换矩阵。此算法适合用来计算连续的分数傅里叶变换。基于chirp分解的离散化算法，将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT来计算分数傅立叶变换。图像的分数傅里叶变换对图像进行分数傅里叶变换分析的目的是确定图像经过分数傅里叶变换后的特性表现，主要包含分数傅里叶变换对图像能量分布和频率分布影响两方面的内容。其中能量分

7、布表现分数傅里叶变换图像的能量聚积性与分数变换阶数的关系，能量聚集性强烈地依赖于其接近于傅里叶变换的程度；频率分布表现在分数傅里叶变换的相位函数包含了图像的纹理频率信息，变换阶数不同，相位函数所含的图像边缘高频信息也不相同。图像经过某种二维离散变换之后的能量分布体现了图像的变换特征。图像分数傅里叶变换域的能量分布特点是：能量向中心区域聚集性。(1)当分数阶次p由小变大时，由相位函数恢复的图像呈现出图像边缘轮廓变得越来越清晰，这类似于原始图像经历了不同截止频率的高通滤波器。当p较小时对应于截止频率较低的高通滤波器，

8、低频成份浮现出来，图像边缘模糊；当p较大时，对应于截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤掉，图像边缘比较清晰，FRFT逐渐向FT退化。(2)当变换阶数p由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。p较小时，对应于截止频率较高的低通滤波器，高频分量残留较多，能清晰看到原图像的轮廓；p较大时，对应于截止频率较低