混沌图像加密方法之基于分数傅里叶变换加密

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1、混沌图像加密方法之基于分数傅里叶变换加密在以互联网为代表的数字信息技术飞速发展的今天，越来越多的场合需要用数字加密保护处理。为此我们利用离散分数傅里叶变换(DFRFT)提出了一种数字图像文件加密变换算法。分数傅里叶变换如今在光学信息处理领域已有比较广泛的应用。数本文将这种加密算法同传统混沌加密方法相结合，能够获得较高的保密效果。一、数字图像的分数傅里叶变换1、分数傅里叶变换的定义和性质以一维为例讨论，设输入信号为f(x)，则其p阶分数傅里叶变换定义为：其中，常数为：p(o<

2、p

3、<2)为分数阶，φ=p.（π/2）。特别地，当p=1时，上述分数傅里叶变换即为普通傅里叶变换。由此定义可得出

4、分数傅里叶变换的两条重要性质：（1）可加性：fp1(fp2)=fp1+p2；（2）周期性：当p1+p2=4n时，fp1+p2=f，其中n为整数。2、分数傅里叶变换的数值计算对分数傅里叶变换的定义进行离散化处理，分数傅里叶变换的数值计算可通过7个步骤得到：（1）初始化；（2）由采样定理对输入信号和啁啾信号进行离散化处理得到f(n)，（-N／2

5、，不会对理论分析造成影响，因为常数位相因子不改变分数傅里叶变换的分布，只是使位相增加了一个共同的移动。算法的结果很容易扩展到二维可分离变量情况。3、数字图像的离散分数傅里叶变换数字图像的离散分数傅里叶变换是二维的，变换过程可转换为两次一维离散分数傅里叶变换，转换步骤如下：（1）对数字图像的行向量进行一维离散分数傅里叶变换，变换阶数为px，得变换结果F1；（2）对F1的列向量进行一维离散分数傅里叶变换，变换阶数为py，得到变换结果F2；（3）对F2进行转置，得到的结果就是二维离散分数傅里叶的变换结果。二、混沌系统和图像空间域置乱1、混沌系统混沌现象是在非线性动力系统中出现的确定性类似随机

6、的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对初始值有极其敏感的依赖性。从时域上看，混沌映射得到的序列类似于随机序列，相关性较弱，具有很好的类白噪声特性，因此可以用来产生伪随机信号或伪随机码。原理上只要增加迭代次数，伪随机码的周期可以很长，产生长码十分简单。通过混沌系统对初始值和结构参数的敏感依赖性，可以提供数量众多、非相关、类随机而又确定可再生的信号。由于上述特点，混沌已广泛应用于保密通信中，同时也可以作为加密序列。混沌加密技术已成为一种新兴的加密技术。一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，其定义如下：其中，0<μ<4称为分枝参数，xk∈(0，1)定义同上。混沌动力系统

7、的研究工作指出，当3.5699456…<μ≤4时，logistic映射工作于混沌态。也就是说，由初始条件xo在logistic映射的作用下所产生的序列{Xk；k=0，1，2，3…）是非周期的、不收敛的，并对初始值非常敏感。另一类简单的映射是Chebyshev映射，以阶数为参数。k阶Chebyshev映射定义如下：其中，xk的定义区间是(-1，1)。事实是通过简单的变量代换，logistic映射同样可以在区间(-1，1)上定义。其形式如下：其中，λ∈[0，2]。在λ=2的满射条件下，logistic映射与Chebyshev映射是拓扑共轭的，其所生成的序列的概率分布函数PDF(probab

8、ilitydensityfunction)也是相同的：对于式（2）形式的logistic映射，如果μ=4，PDF可改写为：通过ρ（x），可以很容易地计算得到logistic映射所产生的混沌序列的一些很有意义的统计特性。例如，x的时间平均即混沌序列轨迹点的均值为：关于相关函数，独立选取两个初始值xo和yo，则序列的互相关函数为：注意联合pdfρ(x，y)=ρ(x)*ρ(y)。而序列的自相关函数(auto-correlationfunctions，ACF)则等于delta函数θ(1)。Logistic序列的以上特性表明，混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，其具有形式简单，初

9、始条件的敏感性和具备白噪声的统计特性等诸多特性。2、混沌二维置换网络的设计密码学中使用置换来进行数据变换，主要有两种作用：（1）对数据内容作不可预测的替换；（2）改变数据在数据序列中的位置，即随机换位。对于第（2）种置换网络也称为置乱网络。本文采用一种二维混沌置乱方法来应用于图像的加密。置换网络的目的是利用若干步骤的变换，打乱原来元素的位置，使原来有规则的元素分布在多次变换后显现无规则、接近随机的分布，从而起到信息保密的作用。这里将混沌序列引入