快速傅里叶变换.doc

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1、第四章快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT).1965年，Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，将DFT的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基２DIT和基２DIF。FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。快速傅里叶变换（FFT）是计算离散傅里叶变换（DFT）

2、的快速算法。DFT的定义式为=在所有复指数值的值全部已算好的情况下，要计算一个需要N次复数乘法和N－1次复数加法。算出全部N点共需次复数乘法和次复数加法。即计算量是与成正比的。FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。因子具有以下两个特性，可使DFT运算量尽量分解为小点数的DFT运算：（1）周期性：（2）对称性：利用这两个性质，可以使DFT运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子：求当N＝4时，X(2)的值通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。FFT的算法形式有很多种，但基本上可以分为两大类：按时间抽取（DIT）和按频率抽取（DIF）。4.1按

3、时间抽取（DIT）的FTT为了将大点数的DFT分解为小点数的DFT运算，要求序列的长度N为复合数，最常用的是的情况（M为正整数）。该情况下的变换称为基2FFT。下面讨论基2情况的算法。先将序列x(n)按奇偶项分解为两组将DFT运算也相应分为两组（因为）其中、分别是的N/2点的DFT至此，一个N点DFT被分解为两个N/2点的DFT。上面是否将全部N点的求解出来了？分析：和只有N/2个点（），则由只能求出的前N/2个点的DFT，要求出全部N点的，需要找出、和的关系，其中。由式子可得化简得＝，这样N点DFT可全部由下式确定出来：（＊）上式可用一个专用的碟形符号来表示，这个符号对应一次复乘和两次复加运

4、算。图　蝶形运算符号通过这样的分解以后，每一个N／2点的DFT只需要次复数乘法，两个N/2点的DFT需要次复乘，再加上将两个N／2点DFT合并成为N点DFT时有N／2次与W因子相乘，一共需要次复乘。可见，通过这样的分解，运算量节省了近一半。因为，N/2仍然是偶数，因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解，将两个N/2点的DFT分解成两个N/4点的DFT。例如对，可以在按其偶数部分及奇数部分进行分解：则的运算可相应分为两组：　将系数统一为以Ｎ为周期，即，可得同样，对也可进行类似的分解。一直分解下去，最后是２点的DFT，２点DFT的运算也可用碟形符号来表示。这样，对于一个的DFT运算，其

5、按时间抽取的分解过程及完整流图如下图所示。这种方法，由于每一步分解都是按输入序列在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，故称为“时间抽取法”。分析上面的流图，，一共要进行M次分解，构成了从x(n)到X(k)的M级运算过程。每一级运算都是由N/2个蝶形运算构成，因此每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加，则按时间抽取的M级运算后总共需要　　　复数乘法次数：　　　复数加法次数：根据上面的流图，分析ＦＦＴ算法的两个特点，它们对ＦＦＴ的软硬件构成产生很大的影响。（１）原位运算也称为同址运算，当数据输入到存储器中以后，每一级运算的结果仍然存储在原来的存储器中，直到最后输出，中间无需其它的存储器。根据运

6、算流图分析原位运算是如何进行的。原位运算的结构可以节省存储单元，降低设备成本。（２）变址分析运算流图中的输入输出序列的顺序，输出按顺序，输入是“码位倒置”的顺序。见图。自然顺序二进制表示码位倒置码位倒置顺序0000000010011004201001023011110641000011510110156110011371111117　　　　　　　　　码位倒置顺序在实际运算中，直接将输入数据x(n)按码位倒置的顺序排好输入很不方便，一般总是先按自然顺序输入存储单元，然后通过变址运算将自然顺序的存储换成码位倒置顺序的存储，这样就可以进行FFT的原位运算。变质的功能如图所示。用软件实现是通用采用雷德

7、（Rader）算法，算出I的倒序Ｊ以后立即将输入数据X(I)和X(J)对换。尽管变址运算所占运算量的比例很小，但对某些高要求的应用（尤其在实时信号处理中），也可设法用适当的电路结构直接实现变址。例如单片数字信号处理器TMS320C25就有专用于FFT的二进制码变址模式。4.２按频率抽取（DIF）的FTT除时间抽取法外，另外一种普遍使用的FFT结构是频率抽取法。频率抽取法将输入序列不是按奇、偶分组，