第4章图像变换ppt课件.ppt

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1、小波变换及其应用傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们找到新的方法——小波变换。小波简史20世纪初，哈尔(AlfredHaar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haarwavelets)，他最早发现和使用了小波。20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年

2、轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换WT(wavelettransform)的概念。进入20世纪80年代，法国的科学家Y.Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j>=0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。小波简史小波变换的主要算法则是由法国的科学家StephaneMallat在1988年提出。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地

3、说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。InridDaubechies，RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。小波概念小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题

4、。如果没有现成的小波可用，那么还需要自己开发合用的小波。小波分析信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波(motherwavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。小波分析连续小波变换傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。小波分析是把一个信号分解成

5、将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。连续小波变换数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示，傅立叶变换是信号f(t)与复数指数之积在信号存在的整个期间里求和。傅立叶变换的结果是傅立叶系数F(w)，它是频率w的函数。连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)用下式表示，这个式子的含义就是，小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数之积在信

6、号存在的整个期间里求和。CWT变换的结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数。连续小波变换CWT的变换过程可分成如下5个步骤：步骤1:把小波y(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较。步骤2:计算系数C。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数C的值越高表示信号与小波越相似，因此系数C可以反映这种波形的相关程度。步骤3:把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为y(t-k)，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波y(t-2k)，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f(t)结束。

7、步骤4:扩展小波y(t)，例如开展一倍，得到的小波函数为y(t/2)。步骤5:重复步骤1~4。连续小波变换小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分产生的。这些小波系数、缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以用下图表示，该图是用MATLAB软件绘制的，是用二维图像表示的小波变换分析图，x轴表示沿信号的时间方向上的位置，y轴表示缩放因子，每个x-y点的颜色表示小波系数C的幅度大小。连续小波变换小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w比较高；相反，缩放因子大，

8、表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w比较低。小波分析离散小波变换在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比