第二节可分离变量的微分方程.doc

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1、第二节可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法教学重点：可分离变量的微分方程的解法教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容：本节开始,我们讨论一阶微分方程(1)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:(2)在方程(2)中,变量与对称,它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程,也可看作是以为自变量、为未知函数的方程,在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程，或把上式两端积分就得到这个方程的通解：。但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程（3）就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数积分

2、求不出来。为了解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以，使方程（3）变为，这样，变量与已分离在等式的两端，然后两端积分得或（4）其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成（5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5）中的函数和是连续的，设是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量，得设及依次为和的原函数，于是有（6）因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果是由关系到式（6）所确

3、定的隐函数，那么在的条件下，也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当时，这就表示函数满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中和是连续的，且，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1求微分方程（7）的通解。解方程（7）是可分离变量的，分离变量后得两端积分得从而。又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解。例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的

4、含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知时铀的含量为，求在衰变过程中含量随时间变化的规律。解铀的衰变速度就是对时间的导数。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下（8）其中是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当增加时M单调减少，即的缘故。由题易知，初始条件为方程（8）是可以分离变量的，分离后得两端积分以表示任意常数，因为，得即是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得故得由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，设降落伞离开跳伞塔时（）速度为零，求降落伞

5、下落速度与时间的函数关系．解　设降落伞下落速度为，降落伞在空中下落时，同时受到重力与阻力的作用．重力大小为，方向与一致；阻力大小为（为比例系数），方向与相反，从而降落伞所受外力为根据牛顿第二运动定律（其中为加速度）得函数应满足的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（９）按题意，初始条件为方程（９）分离变量后得两端积分得　　　　　　　　　　　（10）将初始条件代入（10）式得于是所求的特解为例4有高1cm的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm(图12-1)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度（水面与孔口中心间的距离）随时间变化

6、的规律。解由水力学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率）可用下列公式计算：其中0.62为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度，现在孔口横截面面积，故或（9）另一方面，设在微小时间间隔内，水面高度由降至，则又可得到（10）其中是时刻的水面半径(图12—3)，右端置负号是由于，而的缘故。又因所以（10）式变成。（11）比较（9）和（11）两式，得（12）这就是未知函数应满足得微分方程。此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数还应满足下列初始条件：。（13）方程（13）是可分离变量的。分离变量后得两端积分，得即（14）其中是任意常数。把初始条件（13）代入（

7、14）式，得因此把所得的值代入（14）式并化简，就得。补充例题1.求方程的所有解．解变量分离得两边积分得通解为此外，还有解y=0．无论C取怎样的常数，解y=0均不能由通解表达式y=得出,即直线y=0(x轴)虽然是原方程的一条积分曲线，但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族y=(抛物线)内，称这样的解为方程的奇解．2.解分离变量，得所以代入初始条件，得C=0，故所求特解为小结与思考：可分离变量方程的解法为变量分离后再积分。应用微分