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1、第八节量子力学简介教学内容：1.波函数及其统计解释；2.一维定态薛定鄂方程；3.一维无限深势阱、势垒、隧道效应。重点难点：1.波函数的物理意义和波函数的标准条件；2.薛定格方程的建立过程及其求解方法基本要求：1.理解量子力学的基本假设；2.理解一维无限深势阱薛定格方程的求解过程和解的物理意义；2.了解隧道效应的物理原理及其应用。薛定谔简介：奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起
2、来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，于1933年获诺贝尔物理奖金。一、波函数概率密度微观粒子的运动遵循什么样的规律？1.波函
3、数德布罗意波的强度和微观粒子在某处附近出现的概率(probabilitydensity)成正比：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。按照薛定谔的观点，微观粒子的状态应由该粒子的德布罗意波（物质波）的波函数(r,t)来描述，借助于物质波所遵从的波动方程即薛定谔方程(Schrodingerequation)，可以求出t时刻在空间任一位置的波函数(wavefunction)。波函数(r,t)又称为概率幅，它是一个复数，与机械波和电磁波不同，它并不代表任何实在的物理量的波动。2.自由粒子的波函数自由平面机械波：y(r,t)ACost2r自由平面电磁波：E
4、(r,t)E0Cost2r一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意波具有频率和波长：Eh，hp。或者用角频率和波矢量表示：为：E，kp，它的波函数的一种很自然的形式k(r,t)ACost2rReAei(tkr)因此和自由粒子相对应的单色平面波的复数形式为：k(r,t)Aei(tkr)Aei(Etpr)3.概率密度（1）用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一。（2）波函数的物理意义波函数模的平方
5、(r,t)
6、2代表时刻t，在r处附近空间单位体积中粒子出现的几率。因此
7、(r,t)
8、2也被称为概率密度。时刻t粒子出现在位置r附近d体积内的几率为：
9、(r,t)
10、
11、2d。电子衍射表明的波粒两象性，可用波函数解释。波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。（3）波函数的标准条件波函数必须满足以下几个条件：单值、连续、有限、归一化。*(r,t)连续可微，且(r,t)的一阶导数也连续可微。*dV1。*归一化：若一个未归一化的波函数(r,t)，其归一化的形式的(r,t)c(r,t)，它们描述同一个微观状态，则归一化系数：c12(r,t)dV二、薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描写，状态随时间的变化遵循一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛
12、定谔方程作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。1.建立薛定谔方程的主要依据和思路（1）要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足德布罗意关系式E/h,h/p；（2）满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E，质量为m，动量为P的粒Ep2V(r)子，存在：2m；（3）若1是方程的解，则c1也是它的解；若波函数1与2是某粒子的可能态，则它们的线性组合c11c22也是该粒子的可能态。因此，波函数应遵从线性方程。(4)自由粒子的外势场应为零，即EPr0。2.自由粒子的薛定谔方程一个具有动能E和动量P自由粒子的波函数为：k(r,t)Aei(Etpr)，两边求对t的
13、一阶导数可得：k(r,t)iEk(r,t)t（1）对k(r,t)Aei(Etpr)两边同时求对x的一阶导数可得：k(r,t)ipxk(r,t);x2px2k(r,t)x22k(r,t)（2）同理可得：2k(r,t)y22k(r,t)2z2p2y2k(r,t)（3）pz2k(r,t)2（4）222注意到拉普拉斯算符的定义：x2y2z2，由（2）、（3）、（4）式可得：2p2k(r,t)k(r,t)2（5）注意到自由粒子的能量和动量的关系：Ep22m（6）由（1）、（5）、（6）式可得：(r,t)2i2(r,t)t2m许多单色平面波线性叠加的态仍是上述
