电动力学答案chapter3.pdf

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1、电动力学习题解答参考第三章静磁场rrr1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B写出A的两种不同表示式证明两者之0差是无旋场rrrrr解B是沿z方向的均匀的恒定磁场即B=Be且B=∇×A00z0r∂Az∂Ayr∂Ax∂Azr∂Ay∂Axr在直角坐标系中∇×A=(−)e+(−)e+(−)exyz∂y∂z∂z∂x∂x∂y∂Az∂Ay−=0∂y∂zrr∂A∂Axz如果用A在直角坐标系中表示B0即−=0∂z∂x∂A∂Ayx−=0∂x∂yr由此组方程可看出A有多组解如解1A=A=0,A=−By+f(x)yZx0rr即A=[−By+f(x)]e0x解2A=A=0,

2、A=Bx+g(y)xzY0rr即A=[Bx+g(y)]e0yrrr解1和解2之差为∆A=[−By+f(x)]e−[Bx+g(y)]e0x0y则r∂(∆A)z∂(∆A)yr∂(∆A)x∂(∆A)zr∂(∆A)y∂(∆A)xr∇×(∆A)=[−]e+[−]e+[−]exyz∂y∂z∂z∂x∂x∂y0这说明两者之差是无旋场2.均匀无穷长直圆柱形螺线管每单位长度线圈匝数为n电流强度为I试用唯一性定理求管内外磁感应强度B解根据题意得右图取螺线管的中轴线为z轴rrrµJ×rr0本题给定了空间中的电流分布故可由B=dV'求解磁场分布又J在导∫34πrrrrµ0Jdl×r线上所以B=∫

3、34πr1螺线管内由于螺线管是无限长理想螺线管故由电磁学的有关知识知其内部磁-1-电动力学习题解答参考第三章静磁场场是均匀强磁场故只须求出其中轴线上的磁感应强度即可知道管内磁场由其无限长的特性不妨取场点为零点以柱坐标计算rrrrr=−acosϕ'e−asinϕ'e−z'exyxrrrdl=−adϕ'⋅sinϕ'e+adϕ'⋅cosϕ'exyrrrrrrr∴dl×r=(−adϕ'⋅sinϕ'e+adϕ'⋅cosϕ'e)×(−acosϕ'e−asinϕ'e−z'e)xyxyxrr2r=−az'cosϕ'dϕ'e−az'sinϕ'dϕ'e+adϕ'exyz取由z'−z'+dz

4、'的以小段此段上分布有电流nIdz'rr2rrµ0nJdz'(−az'cosϕ'dϕ'ex−az'sinϕ'dϕ'ey+adϕ'ez)∴B=∫34π[a2+(z')2]2z'2π∞2+∞d()µ0adz'rnIµ0a=dϕ'⋅nIe==nµI4π∫∫223z2∫z'300−∞[a+(z')]2−∞[()2+1]2a2)螺线管外部:由于是无限长螺线管不妨就在xoy平面上任取一点P(ρ,ϕ.0)为场点(ρ>a)rr222∴r=x−x'=(ρcosϕ−acosϕ')+(ρsinϕ−asinϕ')+z'222=ρ+a+z'−2aρcos(ϕ−ϕ')rrrrrrr=x−x'=(ρ

5、cosϕ−acosϕ')e(ρsinϕ−asinϕ')e−z'exyzrrrdl=−adϕ'⋅sinϕ'e+adϕ'⋅cosϕ'exyrrrr2r∴dl×r=−az'cosϕ'dϕ'e−az'sinϕ'dϕ'e+[a−aρcos(ϕ'−ϕ)]dϕ'exyz2π∞2π∞rµ0az'cosϕ'dϕ'raz'sinϕ'dϕ'r∴B=⋅nI[dϕ'−edz'+dϕ'−edz'+∫∫3x∫∫3y4πrr0−∞0−∞2π∞2a−aρcos(ϕ'−ϕ)r+dϕ'dz'e]∫∫3zr0−∞由于磁场分布在本题中有轴对称性而螺线管内部又是匀强磁场且螺线管又是无限r长故不会有磁力线穿出螺线管

6、上述积分为0所以B=0-2-电动力学习题解答参考第三章静磁场3.设有无穷长的线电流I沿z轴流动以z<0空间充满磁导率为µ的均匀介质z>0区域为真空试用唯一性定理求磁感应强度B然后求出磁化电流分布解本题的定解问题为rr2∇A=−µJ,(z>0)10rr2∇A2=−µJ,(z<0)rrA=A12z=01r1r∇×A=∇×Aµ2z=0µ1z=00由本题具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为rrrµ0IdlA(x)=1∫4πrrrrµIdlA(x)=2∫4πrµ0Ire,(z>0)rπθ2r由此可推测本题的可能解是B=µIre,(z<0)2πrθ

7、rrrrr验证边界条件1A=A,即n⋅(B−B)=012z=021rrrr题中n=e,且e⋅e=0所以边界条件1满足zzθ1r1rrrr2∇×A=∇×A,即n×(H−H)=02z=01z=021µµ0本题中介质分界面上无自由电流密度又rrBIr1H==e1θµ2πr0rrBIr2H==e2θµ2πrrrrrr∴H−H=0,满足边界条件n×(H−H)=02121µ0Ire,(z>0)rπθ2r综上所述由唯一性定理可得本题有唯一解B=µIre,(z<0)2πrθrrrBrrBr2在介质中H=−M故在z<0的介质中M=−H2µµ0