电动力学答案chapter2.pdf

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1、电动力学习题解答参考第二章静电场r1.一个半径为R的电介质球极化强度P=K电容率为2r(1)计算束缚电荷的体密度和面密度(2)计算自由电荷体密度(3)计算球外和球内的电势(4)求该带电介质球产生的静电场总能量解(1)rrr1r1r2ρ=−∇⋅P=−K∇⋅=−K(∇⋅r+∇⋅r)=−K/rP222rrrrrrσ=−n⋅(P−P)P21R又球外无极化电荷rrrrrrP=0σ=n⋅P=n⋅K=K/R2p1R2Rrrr(2)由公式D=εErrrD=εE+P0rrεPD=ε−ε0rεrεKρ=∇⋅D=∇⋅P=`f2ε−ε(ε−ε)r00(3)对于球外电场由高斯定理

2、可得rrQE⋅ds=∫外ε0εK2⋅rsinθdrdθdϕrρdV∫∫∫(ε−ε)r22∫f0∴E⋅4πr==外εε00rεKRr∴Er外3ε(ε−ε)r00rrKr同理可得球内电场E⋅内2ε−εr0∞rrεKR∴球外电势ϕE⋅dr外∫外ε(ε−ε)r∞00-1-电动力学习题解答参考第二章静电场∞RrrrrεKKR球内电势ϕE⋅drE⋅dr+ln内∫外∫内ε(ε−ε)ε−εrRr0001rr1εKrrKrrεK24ωD⋅E⋅⋅⋅⋅∴内内内22222εεrεεr2εεr00021εK2K2∴WωdV⋅⋅rsinθdrdθdϕ2πεR)内∫内∫∫∫222(ε

3、−ε0)rε−ε0222221εKR122πεRKWωdV=⋅⋅⋅rsinθdrdθdϕ外∫外∫∫∫R2ε(ε−ε)2r4ε(ε−ε)20000εK2∴W=WW2πεR(1+)()内外εε−ε002在均匀外电场中置入半径为R的导体球试用分离变数法球下列两种情况的电势01导体球上接有电池使球与地保持电势差φ;02导体球上带总电荷Q.解1当导体球上接有电池与地保持电势差φ时以地为电势零点0本问题的定解条件如下φφR=R内00ϕ=−ERcosθϕ2外R→∞00∇ϕ外0R>R0且ϕ0是未置入导体球ϕ外R=R0=φ0前坐标原点的电势∞nnb根据有关的数理

4、知识可解得ϕ外∑anRn1Pncosθ)n0R由于ϕ=−ERcosθϕ即外00R→∞∞b∞bn0b1nϕ外a0+a1Rcosθ+∑anRPn(cosθ)++2cosθ+∑n+1Pn(cosθ)R→∞=−E0Rcosθ+ϕ0n=2RRn=2R故而有a=ϕ,a=−E,a=0(n>1),b=0(n>1)0010nnbb01∴ϕϕERcosθ+cosθ外002RR-2-电动力学习题解答参考第二章静电场bb01又ϕ=φ,即ϕ=ϕ−ERcosθ+cosθ=φ外R=R00外R=R000R200R0b0ϕ+=φ00R0故而又有∴b−ERcosθ+1cosθ=0

5、002R02得到b=(φ−ϕ)R,b=ER0000100最后得定解问题的解为3(φ−ϕ)RER00000ϕ=−ERcosθ+ϕ++cosθ(R>R)外000RR2当导体球上带总电荷Q时定解问题存在的方式是2∇φ0(RR0)φ有限内R→0φ外R→∞E0Rcosθ+ϕ0(ϕ0是未置入导体球前坐标原点的电势φ内φ外RR0∂φ外−εdsQ(R=R)∫00∂Rs解得满足边界条件的解是nbnϕ内∑anRPncosθϕ外ϕ0E0Rcosθ∑n1Pncosθn=0n=0R由于ϕ的表达式中只出现了P(cosθcosθ

6、项故b=0(n>1)外R→∞1nbb01∴ϕϕERcosθ+cosθ外002RR又有ϕ是一个常数导体球是静电平衡外R=R0bb01ϕ=ϕ−ERcosθ+cosθ=C外R=R00002RR00b13∴−ERcosθ+cosθ=0即b=ER002100R0-3-电动力学习题解答参考第二章静电场3bER000ϕϕERcosθ++cosθ外002RR∂φ外Q又由边界条件−εdsQ∴b=∫00∂r4πεs0Q∴ϕ−ϕRR外2004πεRR03均匀介质球的中心置一点电荷Q球的电容率为ε球外为真空试用分离

7、变数法求f空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较Q提示空间各点的电势是点电荷Q的电势f与球面上的极化电荷所产生的电势的f4πεR叠加后者满足拉普拉斯方程解一.高斯法rr在球外R>R0,由高斯定理有ε0∫E⋅ds=Q总Qf+QP=Qf对于整个导体球而言束缚电荷Q=0)PrQf∴E=24πε0RQf积分后得ϕ+C.(C是积分常数外4πεR0又由于ϕ=0,∴C=0外R→∞Qf∴ϕ=(R>R)外04πεR0rr在球内R

8、习题解答参考第二章静电场QfQf由于ϕϕ,故而有=+C内外R=R024πεR4π