最新本原多项式.ppt

《最新本原多项式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、本原多项式二、整系数多项式的因式分解§1.9有理系数多项式__________________________________________________问题的引入因式分解定理数域P上次数的多项式都可唯一地分解成一些不可约多项式的乘积数域不可约多项式复数域C实数域R有理数域Q存在任意次不可约多项式仅有一次多项式一次多项式和某些二次不可约多项式§1.9有理系数多项式__________________________________________________有理系数多项式的因式分解怎么分？分成什么样？有理数域上多项式不

2、可约性的判定整系数多项式的分解问题化为§1.9有理系数多项式__________________________________________________一、本原多项式设定义若没有则称为本原多项式．异于的公因子，即是互素的，§1.9有理系数多项式__________________________________________________有关性质1．使其中为本原多项式．（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．2．Gauss引理定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式．§1.9有理系数多项式____________

3、______________________________________设是两个本原多项式．若不是本原的，则存在素数证：又是本原多项式，所以不能整除的每一个系数．反证法．§1.9有理系数多项式__________________________________________________令为中第一个不能被整除的数，即同理，本原，令为中第一个不能被整除的数，即又矛盾．在这里故　　是本原的．§1.9有理系数多项式__________________________________________________定理11若一非零

4、的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．二、整系数多项式的因式分解§1.9有理系数多项式__________________________________________________设整系数多项式有分解式其中且证：令这里，皆为本原多项式，于是由定理10，本原，即从而有得证．§1.9有理系数多项式__________________________________________________设是整系数多项式，且是本原推论的，若则必为整系数多项式．§1.9有理系数

5、多项式__________________________________________________令本原，即为整系数多项式．证：于是有，§1.9有理系数多项式__________________________________________________定理12设是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中是互素的，则必有§1.9有理系数多项式__________________________________________________是的有理根，从而又互素，比较两端系数，得证：∴在有理数域上，由上推论，有本原．

6、所以，§1.9有理系数多项式__________________________________________________定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，而非充分条件．例1　求方程的有理根.可能有理根为用综合除法可知，只有1为根．注意解：§1.9有理系数多项式__________________________________________________例2证明:在上不可约．若可约，但的有理根只可能是所以不可约．证：则　　至少有一个一次因式，也即有一个有理根．而矛盾．§1.9有理系数多项式________

7、__________________________________________定理13艾森斯坦因Eisenstein判别法设是一个整系数多项式，若有一个素数使得则在有理数域上是不可约的．§1.9有理系数多项式__________________________________________________若在上可约，由定理11，可分解为两次数较低的整系数多项式积证：又不妨设但或不能同时整除§1.9有理系数多项式__________________________________________________另一方面，假设

8、中第一个不能被整除的数为比较两端的系数，得上式中　皆能被　整除，矛盾．故　　不可约．§1.9有理系数多项式__________________________________________________①Eisenstein判别法是判断不可约的