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1、第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。§3-1逆解法与半逆解法 多项式解答§3-2矩形梁的纯弯曲§3-3位移分量的求出§3-５楔形体受重力和液体压力§3-４简支梁受均布载荷主要内容应力函数求解方法（1）逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力
2、函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。(2-27)或者：由相容方程（2-27），直接解出φ(x,y)的形式；§3-1逆解法和半逆解法 多项式解答（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。（2）半逆解法(2-27)适用性：由一些直
3、线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：a、b、c为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程：显然φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式（2）（3）对应的应力分量：若体力：X=Y=0，则有：结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式（1）其中：a、b、c为待定系数。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)
4、检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)（3）由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy试求图示板的应力函数。例：xy3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。xy4.四次多项式（1）检验φ(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得可见，对于函数：其待定系数，须
5、满足下述关系才能作为应函数：总结：（多项式应力函数的性质）（1）多项式次数n<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，下一步如
6、何由求出形变分量、位移分量？问题：（注:逆解法只能解决简单直线应力边界等问题）。应力函数法求解平面问题的基本步骤（常体力情形）（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。(2-28)（无体力情形）应力函数的求解方法：（1）逆解法；（2）半逆解法。（1）逆解法：——多项式解答多项式应力函数的性质：（1）多项式次数n<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件
7、，才能满足。多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法。——只能解决简单直线应力边界问题应力函数的求解方法：（1）逆解法；（2）半逆解法。课堂练习：1.试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y)。2.z方向（垂直于板面）很长的直角六面
8、体，上边界受均匀压力p作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力分量。1.试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y)。(1)(2)(3)解：(1)将其代入相容方程，有满足相容方程，φ1可作为应力函数。(2)将其代入相容方程，有不满足相容方程，φ2不可作为应力函数。1.试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y)。(1)(2)(3)解：(3)将其代入相容方程，有当D=0时
