图像多尺度几何研究和其应用

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1、图像多尺度几何研究和其应用　　摘要：小波分析联合时间-尺度函数分析非平稳信号，从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺点，然而小波对于信号高维奇异性的几何特征并不能够稀疏的表示。多尺度几何分析理论提供了线性奇异和面性奇异的高维函数的最优表示。本文主要综述性的介绍了多尺度几何分析的产生及发展，重点介绍了shearlet的算法，与其在边缘检分析中的应用，并展望多尺度几何分析的发展方向。关键词：傅里叶变换小波变换多尺度几何分析shearlet边缘分析中图分类号：TP391.41文献标识码：A

2、文章编号：1672-3791（2013）04（a）-0012-02生物学家对人类视觉系统的研究结果表明，人类视觉系统能自动调节以使用较少的视觉神经细胞来捕捉自然场景的本质信息，在图像表示中，如果图像的表示方法有如下的五个特性，则能达到图像的最优表示[1]。8（1）“多分辨率”，使图像从低分辨率到高分辨率逐步的逼近目标，即带通性。（2）“局域性”，在空域和频域，我们所选择的基函数必须是局部的，并且能随尺度变化。（3）“临界采样”，具有较低的冗余结构。（4）“方向性”，用长条形的图形逼近曲线，并且使用最少的

3、系数逼近奇异曲线。（5）“各向异性”，基的长条形结构实际上是方向性的一种体现，并且这种长条形的长度宽度比例不同，能处理图像边缘轮廓的平滑性。小波分析因为没有“方向性”和“各向异性”只有其它三种特点而导致不具有对具有线性奇异和面奇异特点的高维函数最稀疏的表示[2]。寻找更有效的奇函数，发展一种新的高维函数的最优表示方法势在必行，多尺度几何分析（MultiscaleGeometricAnalysisMGA）[3]方法便应运而生了。多尺度几何分析能满足上述图像有效表示的所有条件，在图像分析中获得了较大成功，体

4、现出了一定的优势和潜力[4]。目前，多尺度几何分析工具主要有主要包括Ridgelet[5]，Curvelet[6]，Beamlet[7]，Contourlets[8]，Directionlet[9]，Shearlet[10]等。1Shearlet变换Shearlet因其良好的多分辨性和多方向分解特性，使得它可以对图像进行灵活的多分辨和多方向分解，对图像中的边缘和纹理等细节信息能给出接近最优的表示性能，是一种更为灵活的数字图像表示方法。shearlet的构造方法为[10]。令满足以下三个条件。（1），其中

5、，为的傅里叶变换；（2）为连续小波，，；8（3）且，在区间上，且；则称由，以及所生成的下列系统：为shearlet系统，为shearlet的基函数，其中，分别为各向异性膨胀矩阵和剪切矩阵。则剪切波波变换定义为：2Shearlet变换在图像边缘中的分析边缘检测和分析是多种图像处理和计算机可视应用程序的主要任务。事实上，由于边缘通常是自然图像最突出的特征，因此边缘的定位对于更高级别的应用程序来说是基本的低级任务，例如形状识别、3D重现、数据增强和恢复等。边缘可以看作是函数的一些点，的定义域为，的梯度很大，即

6、：其中是某个适当选择的阈值。很显然，这种对边缘的表示方法太简单，并不能直接地转化为一种有效的边缘检测机制，这是因为图像通常会被噪声影响且微分算子对噪声极其敏感。因此，为了密切注视噪声的干扰，在大多数常见的边缘检测机制中，图像首先会被处理得平滑。例如，在经典的Canny边缘检测算法中，首先用可度量的高斯函数对图像进行卷积为：×8其中且。其次，边缘点被标识为的梯度的轨迹最大值。注意，这种方法引入了一个定标参数，当减小时，边缘定位的检测变得更加精确；然而，当减小时，检波器也会变得对噪声更加敏感。因此，边缘检波

7、器的性能极为依靠定标（也有阈值）。在边缘检测和小波分析之间有个有趣而有用的关系，这个关系首先被Mallat，Hwang和Zhong发现，可以总结如下：给定一个图像，可容许的实偶函数的连续小波变换表示为：×其中，特别地，如果，那么：××这表明了平滑图像的梯度的最大值正好与小波变换的最大值相一致。这个发现提供了一种自然的数学框架用于边缘的多尺度分析[11]。以上描述的Canny边缘检波器或小波方法的主要限制是两种方法在本质上都是各向同性的。因此，它们在处理边缘的各向异性时不是很有效率。精确地标识边缘位置是特

8、别困难的，这是由于噪声的存在以及当几个边缘靠得太近或者彼此交叉的时候，例如三维物体的二维投影。在这些案例中，以下传统边缘检波器的局限性特别的明显。（1）辨别靠近的边缘存在困难。各向同性的高斯滤波导致边缘紧靠在一起，模糊成一条单个曲线。（2）粗劣的角度准确性。在曲率或者交叉曲线的形状突变中，各向同性的高斯滤波导致边缘方位的不精确检测。这会影响拐点和结点的检测。8为了更好的处理边缘信息，引入了很多方法来代替各向同性的高斯滤波器，例如易操纵的、可