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1、频率域滤波傅立叶变换：甚至非周期函数（曲线是有限的情况下）也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分表示。用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅立叶反变换重建，不丢失任何信息。4.2.1一维傅立叶变换及其反变换单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)定义为：4.2傅立叶变换和频率域的介绍离散形式的傅立叶变换：4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍因此傅立叶变换的每一项[即对于每个u值,F(u)的值]由f(x)函数所有值的和组成.f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域（u的值）称为频率域，因
2、为u决定了变换的频率成分.F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。傅立叶变换可看成“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分.使我们能够通过频率成分来分析一个函数。用极坐标表示F(u)比较方便：4.2傅立叶变换和频率域的介绍R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部4.2傅立叶变换和频率域的介绍在离散傅立叶变换中,函数f(x)中x的取值不一定是[0,M-1]中的整数值,而是任意选取的等间隔点.u总是从0频率开始4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维DFT及其反变换反变换：M×N的函数f(x,y)的DFT:4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维
3、变换的傅立叶谱、相角、频率谱为f(x,y)的平均值,即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级.当u=0,v=0时4.2傅立叶变换和频率域的介绍通常在进行傅立叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数将傅立叶变换的原点(即F(0,0))被设置在u=M/2,v=N/2上,该点为二维DFT设置的M×N区域的中心为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。当在计算机中使用傅立叶变换时，总和的范围为u从1到M,v从1到N。实际的变换中心将为u=(M/2)+1和v=(N/2)+1.4.2傅立叶变换和频率域的介绍xyuv4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2
4、傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：平移可以用于中心化变换,u和v的范围分别为[0,M-1]和[0,N-1],变换后的中心变为u=(M/2)+1,u=(N/2)+14.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：分配性和比例变换性傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：对于比例因子a和b，有：4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：旋转若引入极坐标那么f(x,y)和F(u,v)分别变成有4
5、.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：周期性和对称性周期性：共轭对称4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：可分性其中对于每个x值，当v＝0,1,2,…,N-1时,该等式是完整的一维傅立叶变换。即F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅立叶变换。当y由0变为N-1时，沿着f(x,y)的所有行计算傅立叶变换。然而频率变量u仍然保持不变。为完成二维变换，将u值从0变到M-1.这涉及沿F(x,v)的每一列计算一维变换。可以通过先沿输入图像的每一行计算一维
6、变换，然后沿中间结果的每一列再计算一维变换的方法来求二维变换。4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：卷积定理对于离散域的函数，定义为：在泛函分析中，卷积是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。4.2傅立叶变换和频率域的介绍卷积理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积表示为f(x,y)*h(x,y)4.2傅立叶变换和频率域的介绍f(m)h(m)h(-m)h(x-m)f(x)*h(x)采用DFT可以在频率域
7、进行卷积运算,但函数被看成周期函数,从而会引起错误。傅立叶变换计算范围4.2傅立叶变换和频率域的介绍和P=A+B傅立叶变换计算范围4.2傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍正确延拓正确没有适当延拓输入图像的频率域滤波结果适当延拓的图像适当延拓输入图像的频率域滤波结果原始图像之一损失不正确4.2傅立叶变换和频率域的介绍在空间域延拓的低通滤波器用延拓滤波的结果4.2傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：相关性相关理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定
8、义如下：相关的重要用途在于匹配,用于确定是否包含有感兴趣的物体或区域。4.2傅立叶变换和频率域的介绍一维函数的相关256×25638×42293×29
