一个恒成立问题的正误辨析

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1、维普资讯http://www.cqvip.com48数学通报2008年第47卷第4期_个恒成立问题的正误辨析吴新强。、、(江苏无锡市第一中学214031)而s一4×[1一()]是单调递增的，某地模拟试卷中有这样一道试题：“一个各项所以当≥3时总有S≥s>3成立．均为正数的等比数列{n)，其前项的和为S，首项n-2，公比为q一，若对于任意的正整数忌当k-1时，由i<263，而0

2、S一4×[1一(]s一3>0挪么<2川啊c<2(s啊c)又由舞<2甘蔷一2<。甘甘c<2s一s计一4×[L1号×(＼1)，]一，Sk+lc2Sk+2c<0甘—c+Sk+l2Sk<0————一——一甘__k—C一f而^(尼)一4×[1～3(丢)]单调增，一>。甘、所以矗(尼)，≥矗(3)一，所以c≤③因为对于任意的正整数尼恒成立，么由①一4×(或一6×(．②、③得正数c的取值范围是：(0，1)u，_量_)．所以问题等价于c>44X(1)对于任意至此，问J题出来了，好象这两种方法很正确，可是结果确是不同的·，的正整数尼恒成立或c<4—6×(1)对于任意2正误的辨析一

3、的正整数尼恒成立，那么由于-厂(尼)一4—4×为了确定上述两种解5一个母正确的j哪一个是错误的，我们不妨再从另外一个譬考零(1)章调增，所以，(尼)<4；又由于g(尼)一一6这个问题·．、设点A(c，c)、点．B=(sk'LS州?，鸯易得到枣A×(丢)也是单调增，所以g(尼)≥g(1)1，因的迹是线段z(04或c_<1，_又因0

4、，点Bk芜限地从左侧靠近点．(4，4)(这是直线解法2因为S一4×[1一(专)]，—z与线y=Tx+2的李点)，而的几所以s一2，s。一3，s。===．，何含义是点A与点B的斜率尼AB，那么原命题维普资讯http://www.cqvip.com2008年第47卷第4期数学通报49即对于任意的点B(一1，2，3，⋯)，斜率AB定也是等价的，但是“对于任意实数，PVq恒成．<2．立”的否定是：j∈R使PVq不成立，而命题在同一直角坐标系中作图如下．对于任意实数，P恒成立或对于任意实数，q恒成立”的否定是：ER，使P不成立且∈4}“R，使q不成立．显然它们的否定是不等

5、价的，所l：3：B以命题“对于任意实数，PVq恒成立”与命题“对于任意实数，P恒成立或对于任意实数，q2／恒成立”是不等价的．这就是参考答案错误所在．}_，一、关于这一点，我们再来举一个特殊的例子：已知定义在R上函数-厂()对于任意的37．∈R满足／6?234xl厂(一)l—l厂()l，则函数厂()是()A．偶函数B．奇函数图1C．偶函数或奇函数D．不确定过B点作斜率为2的直线，交直线—于我们容易由条件得：对于任意的∈R，都有点C，显然当点c在线段OC(不含端点)上时，厂(一)一厂()或厂(一)一～厂()恒成立，如果AB<2总成立，即实数C∈(O，1)时，命题成

6、立．错误地理解成对任意的∈R，都有f(～)再过点B：点作斜率为2的直线，交直线Y—f(x)恒成立或对任意的z∈R，都有f(～z)一于点C。，过点B作轴的垂线交直线Y=．z于一点B，那么，当点c在线段B；C。(不含端点)上时，．厂()恒成立，这样，就会选择C．而函数厂()一{¨＼1满足条件“对于任意的∈R都有斜率AB<2也总成立，即c∈(2，号)时，命题l～l，l成立．．l厂(一)l—l厂()l，，成立的，但是它既不是偶函数也不是奇函数．(其图象如下)再根据0

7、。一l成立．Dj1一综上，所求的实数C的范围是：，1(o，1)U(2，号)．图23几点思考至此，问题明了了，说明“参考答案”是错误的，是不可以作为参考的．那么，到底错误出在哪首先，教学过程中要求我们要善于抓住这些里呢?例子，深刻引导学生发现问题、研究问题、解决问事实上，“参考答案”之所以得到结论“正数c题，挖掘“解题错误”中所蕴涵的教育教学价值．这的取值范围是04-4X课本题”做起，我觉得是可行而必要的，数学探

8、究并非是空泛的凌驾于课本