恒成立问题(2009)

恒成立问题(2009)

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1、恒成立问题(2009)1.(1)若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围;(2)若关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.2三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成关于的函数,作出函数图像”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,求的取值范围.3.已知向量若函数在区间上是增函数,求t的取值范围.4.已

2、知函数,其中是的导函数.(1)对满足的一切的值,都有,求实数的取值范围;(2)设,当实数在什么范围内变化时,函数的图象与直线只有一个公共点.5.求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.6.设,二次函数若的解集为,,求实数的取值范围.7.已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求a的取值范围;8.设是函数的一个极值点.(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;(Ⅱ)设,,若存在使得成立,求的取值范围.9.已知函数(1)求的单调区间和值域;(2)设,函数,若对于任意,总存在使得成立,求a的取值范围.10

3、.求实数的取值范围,使得对任意实数和任意,恒有:。11.已知是函数的一个极值点,其中。(I)求与的关系式;(II)求的单调区间;(III)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3,求的取值范围.12.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且其中A,B为常数.(Ⅰ)求A与B的值;(Ⅱ)证明数列{an}为等差数列;(Ⅲ)证明不等式对任何正整数m、n都成立.13.对于满足

4、a

5、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。14.已知函数是定义在上的

6、奇函数,且,若,,有,(1)证明在上的单调性;(2)若对所有恒成立,求的取值范围。15.若函数在R上恒成立,求m的取值范围。16.已知函数,在R上恒成立,求的取值范围。17.若时,恒成立,求的取值范围。18.若时,恒成立,求的取值范围。19.若对任意的实数,恒成立,求的取值范围。分析:这是有关三角函数的二次问题,运用到三角函数的有界性。20.已知函数,常数,求(1)函数的定义域;(2)当满足什么条件时在区间上恒取正。答案:1.(1)设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得(2)设.则关于的不等式的

7、解集不是空集在上能成立,即解得或.2.关键在于对甲,乙,丙的解题思路进行思辨,这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路,实际上是针对两个函数的,即把已知不等式的两边看作两个函数,设其解法相当于解下面的问题:对于,若恒成立,求的取值范围.所以,甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而,甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时,成立.由在时,有最小值,于是,.3.依定义在区间上是

8、增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是,t的取值范围是.4.解法1.由题意,这一问表面上是一个给出参数的范围,解不等式的问题,实际上,把以为变量的函数,改为以为变量的函数,就转化为不等式的恒成立的问题,即令,,则对,恒有,即,从而转化为对,恒成立,又由是的一次函数,因而是一个单调函数,它的最值在定义域的端点得到.为此只需即解得.故时,对满足的一切的值,都有.解法2.考虑不等式.由知,,于是,不等式的解为.

9、但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以,.故时,对满足的一切的值,都有.5.因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意,抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于①在的条件下,恒成立.整理①式得②于是,本题又等价于②式在的条件下,恒成立.即,由得,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为6.解法一:由题设,.的两个根为显然,.(1)当时,,(2)当时,,.于是

10、,实数的取值范围是.解法二:(1)当时,因为的图象的对称轴,则对,最大,(2)当时,在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.7.只研究第(I)问.,则因为函数存在单调递减区间,所以有解.由题设可知,的定义域是,而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.由得,.于是,,由题设,所以a的取值范围是8.本题的第(Ⅱ)“若存在使得成立,求的取值范围.”如何理解这一设问呢?如果函数在的

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