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1、恒成立问题（2009）1.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．2三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求的取值范围.3.已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.4.已
2、知函数，其中是的导函数.（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点.5.求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.6.设，二次函数若的解集为，，求实数的取值范围.7.已知函数，，.若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；8.设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，,若存在使得成立，求的取值范围.9.已知函数（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.10
3、.求实数的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有：。11.已知是函数的一个极值点，其中。（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.12.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且其中A,B为常数.（Ⅰ）求A与B的值；（Ⅱ）证明数列{an}为等差数列；（Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立.13.对于满足
4、a
5、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。14.已知函数是定义在上的
6、奇函数，且，若，，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。15.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。16.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。17.若时，恒成立，求的取值范围。18.若时，恒成立，求的取值范围。19.若对任意的实数，恒成立，求的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。20.已知函数，常数，求（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间上恒取正。答案：1.（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得（2）设.则关于的不等式的
7、解集不是空集在上能成立,即解得或.2.关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而,甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时,成立.由在时,有最小值,于是,.3.依定义在区间上是
8、增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是,t的取值范围是.4.解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令，，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,,于是,不等式的解为.
9、但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以,.故时，对满足的一切的值，都有.5.因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意,抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于①在的条件下,恒成立.整理①式得②于是,本题又等价于②式在的条件下,恒成立.即,由得,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为6.解法一：由题设,.的两个根为显然,.(1)当时,,(2)当时,,.于是
10、,实数的取值范围是.解法二:(1)当时,因为的图象的对称轴，则对，最大，(2)当时,在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.7.只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是,而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.由得,.于是,,由题设,所以a的取值范围是8.本题的第（Ⅱ）“若存在使得成立，求的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数在的
