实验五 迭代与分形

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1、实验五迭代与分形一、实验目的了解分形几何的基本理论了解通过迭代方式，产生分形图的方法了解matlab软件中实现迭代的程序结构了解分形几何的简单应用二、背景知识1.Fill函数介绍Fill的作用是颜色填满一个多边形区域。基本调用格式如下：函数：fillXYC(,,)功能：用X和Y中的数据生成多边形，用C指定的颜色填充。说明：X和Y是多边形顶点坐标，C是颜色。注意：要保证坐标数据首尾重合，使得多边形封闭。例1用红色填充一个圆形区域代码：t=0:0.01*pi:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);fill(x,y,'r')运行结果：图2-1-1

2、。图2-1-12.什么是迭代迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式：（1）图形迭代给定初始图形F0，以及一个替换规则R,将R反复作用在初始图形F0上,产生一个图形序列：R（F0）＝F1，R（F1）＝F2，R（F2）＝F3，…（2）函数迭代给定初始值x0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x0上，产生一个数列：f（x0）＝x1，f（x1）＝x2，f（x2）＝x3，…例2针对函数fx()2sinx，取初始值x1，做迭代，并作图观察0在matlab

3、的M文件编辑器中，编辑以下代码：functionex31(n,x0)%n-迭代次数,x0-初值fn=[x0];fori=2:nfn=[fn,2*sin(fn(i-1))];%将第i项添加到数组fn中endplot(fn)%画曲线将这个文件保存，文件名ex31.m。调用方式如下：代码：ex31(20,1)运行结果：图2-2-1。代码：ex31(20,2)运行结果：图2-2-2。图2-2-1图2-2-2三、问题描述与分析1.如何描述复杂的自然形态几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面

4、等。但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。通常的几何体具有整数维，比如：一维的线段、二维的正方形、三维的立方体，维数就是几何体在“尺度”上的特征。对于分形中的几何对象，通常意义下的维数已经没有意义，比如Koch曲线（长度是无穷大，面积是零），用一维的“线段”去量，得数无穷大，“尺子”太小；用二维的“正方形”去量，得数为零，“尺

5、子”又太大，因此需要定义分形自己的维数(分数维)。2.分形几何的起源分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（Mandelbrot）于1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托尔（Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的康托尔三分集。1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（Sierpinski）设

6、计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。0.60.40.2-1-0.50.51-0.2-0.4-0.6布朗运动轨迹Weierestrass函数3.分形几何体的维数分形的维数目前有多种定义，我们这里介绍相似维数。设分形F是自相似的，即F由m个子集构成，每个子集放大c倍后同F一样，则定义F的维数为：ddlnmlnc,即cm对于通常的几何对象，采用这种方式计算出来的维数，与传统的维数是一致2的，比如对正方形，将它边长k等份，则相似形个数m=k，每边长放大k倍后与原长相同，即c=k

7、，显然d=2。人类肺的构造，从气管尖端成倍地反复分叉，是一种典型的分形，其分维数大约是2.17。4.本实验的思路分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套的层次结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是，简单的迭代过程，就是描述复杂的自然形态的有效方法。本实验通过迭代的方式，展示了几种经典分形图形的生成过程。四、实验过程本试验以迭代的方式，来体验生成分形图形的基本方法，并感受美丽的分形图案，从而对分形几何有一个直观的了解。1.科赫（Koch）曲线Koch曲线是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是：对一条线段，先将它分成三等份，然后将中间的一份替换成

8、以此为底边的等边三角形的另外两条边。无限次迭代下去，最终形成的曲线就是Koch曲线。第一次迭代得图4-1-1，第二次迭代得