实验6 迭代与分形-2007.10.24

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1、实验7迭代（二）—分形在我们生活着的大千世界里，除了有像房屋建筑、公路桥梁、汽车、飞机、轮船以及各种劳动生活工具等这些人造的形态规则的几何形体之外，更广泛地充满了诸如花草树木、山川河流、烟雾云彩等形态极不规则的几何形体。大自然在向人们展示其美丽多变形态的同时也提出了难以回答的询问：如何描述复杂的自然表象？如何分析其内在的机理？科学家与艺术家一直在苦苦追寻着这些问题的答案，并力图从传统的欧几里得几何体系中解放出来。最近几十年，一些科学家开始朦胧地“感觉”到了另一个几何世界的存在，这个几何世界的描述对象是自然界的几

2、何形态。七十年代，美国科学家B．Mandelbrot用Fractal（原意是碎片、分数等）这个词来定义这门新的几何学科—分形几何学。分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的迭代过程中就可以得到描述复杂的自然形态的有效方法。尽管分形的提出只有三十多年的时间，但它已经在自然科学的诸多领域如数学、物理、化学、材料科学、生命科学、地质、地理、天文、计算机乃至经济、社会、艺术等极其广泛的领域有着重大的应用。可以毫不夸张地说，“分形是大自然的几何学”，“分形处处可

3、见”。本实验的目的是以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使读者在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲理的高度理解这门学科诞生的必然，激发读者探寻科学真理的兴趣。7.1生成元早在上世纪末及本世纪初，一些数学家就构造出一些边界形状不光滑的图形。由于这类图形长期以来被视为“不可名状的”或“病态的”，因而，只有当人们需要反例时才想到它们。这类图形的构造方式都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定的规则R通过对初始图形F0不断修改得到的。其中最具有代表性的图形是Ko

4、ch曲线，Koch曲线的构造方式是：给定一条直线F0，将该直线三等分，并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两边替代，得到图形F1（如图7－1所示）。然后，再对图形F1中的每一小段都按上述方式修改，以至无穷，则最后得到的极限曲线即是所有的Koch曲线。图7－1　　Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段F0用一条折线F1替代，我们称F1为该分形的生成元。分形的基本特性完全由生成元决定。因此，给定一个生成元，我们就可以生成各种的分形。以下是几个经典的分形及其生成元：65图7－2Minkowski“香肠”图

5、7－3Sierpinski三角形图7－4龙曲线65图7－5Hilbert曲线图7－6树木花草其中，前两种分形图形的生成元比较简单。但后三种分形图形的生成元相对比较复杂。在龙曲线中，生成元将一直线段修改为由两互相垂直的线段构成的折线。但在决定向哪个方向折时存在两种选择（假设线段都有确定的定向，即我们要决定折线是在线段的左边还是在右边）。本生成元规定，折线方向对每条线段依次交替他改变（见图7－4）。对Hilbert曲线，虽然它的生成元十分复杂，但其原理与龙曲线类似。在图7－5中，每个小城段的左侧或右侧都画了一根短线

6、，它并不是分形图形的组成部分，它表示在下一步迭代时，生成元应位于短线指示的小正方形之内。树木花草的生成元有些特别，它具有所谓的分支结构。其中有一些参数可以改变，如每段树枝的长度以及树枝之间的夹角。练习1用计算机绘出Koch曲线，Sierpinski三角形及一树木花草的图形。你能否自己构造一些生成元，并由此给出相应的分形图形？任取分形图形的一个局部并将它放大，它同原来的分形图形有什么关系？65练习2从一个正三角形出发，用Koch曲线的生成元做迭代得到的极限图形称为Koch雪花曲线。（1）试计算雪花曲线的边长及面积

7、，它们是否有限？你如何解释所得出的结论？（2）雪花曲线是否光滑（即每一点是否有切线存在）？（3）其它的一些分形是否具有类似的性质？练习3假设生成元由n条线段构成，每段长度为原线段长度的，定义该分形的维数为（l）想一想，这样定义分形的维数有什么道理？分形维数的大小反映了分形的什么特性？（2）利用上述公式，计算雪花曲线Minkowski香肠的维数。（3）从直观上看，Hilbert曲线将填满整个正方形，你是否相信这个事实？你猜测Hilbert曲线的维数是多少？（4）Sierpinski三角形的维数该如何定义？按你的定

8、义，计算Sierpinski三角形的维数，并解释所得结果。练习4定义Weierstrass函数如下：,,1<<2对不通的值，画出函数的图象。观察图象的不规则性与此同时的关系，由此猜测Weierstrass函数图象的维数与的关系。7.2复变函数迭代早在上个世纪就有一些数学家对复变函数的迭代进行研究。然而，直到本世纪80年代。B.Mandelbrot才将复变函数的迭代与分形联系起来，并绘制