基于人口增长模型产业集群规模问题探究

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1、基于人口增长模型产业集群规模问题探究　　摘要：根据人口增长问题与产业集群增长问题的相似性，利用人口增长的Malthus模型和Logistic模型来描述经济生活中的产业集群规模问题，并在Logistic模型的基础上进行了改进，使之更加符合实际情况，最后还讨论了企业进入/退出集群的决策问题。关键词：产业集群；Malthus模型；Logistic模型；模型改进；效用函数中图分类号：F2文献标识码：A文章编号：16723198（2013）220007021问题提出6按照迈克尔·波特的定义：产业集群是一组在地理上靠近的相互联

2、系的公司和关联的机构，它们同处在一个特定的产业领域，由于具有共性和互补性而联系在一起。这与人口问题一样，产业集群也是一个动态的不断演变的复杂系统。在这个复杂的系统中，微观企业之间开展相互合作和竞争，从而推动着产业集群的不断演化。当这些关系处于稳定状态，就能使相关企业在一定时间内空间聚集，并形成一定的产出规模，在外界环境相对稳定的条件下，整个集群能稳定、协调地发展。当外部环境发生变化时，微观企业间的关系就会发生变化，产业集群就会随之演化。由于产业集群类似于人口问题，因而可以用人口增长模型来分析产业集群的规模问题。2模

3、型简介关于人口问题的模型的研究，并不是现在才开始的，早在18世纪末，英国经济学家Malthus在研究了百余年的人口统计资料后建立了第一个人口指数增长模型即Malthus模型。其后经过不断努力，现已有了一些更为精细的数学模型，尤其是人口的预测模型和控制模型为人口政策的制定提供了重要的科学依据。我们这里主要介绍Malthus模型和Logistic模型。2.1Malthus模型设时刻t的人口总数为N（t），人口的净增长率为r，根据Malthus的理论，在人口的自然增长过程中，r为常数，即单位时间内人口增加量与人口的总数成

4、正比。于是得Malthus人口模型：dN1dt=rNN（t0）=N0（1）其解为：N（t）=N0er（t-t0）（2）6如果r>0，则（2）式表明人口总数将以指数形式增长。在资源丰富、人口比较稀少时结果和实际的人口统计数据也比较吻合，用Malthus模型进行短期人口预测还是比较准确的。但该模型用于长期预测是不合适的，因为当r>0，t→+∞时N（t）→+∞，这一结论不符合人口实际情况。主要因为当人口数量达到一定程度时，由于受到土地、资源的限制，会出现食物短缺、资源紧张、环境恶化并伴随战争和传染病的威胁。这些因素对人口

5、增长产生了阻滞作用，此时人口增长率会随人口增加而减小，因此Malthus模型中人口净增长率为常数的假设必须进行一定的修改。2.2Logistic模型为了克服Malthus模型假设的缺陷，荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，并假定净相对增长率为r（1-N1Nm），即净相对增长率随N增加而减小，此时r称为内在增长率，即不受资源和环境限制的人口增长率。当N（t）→Nm时，净相对增长率趋于0，于是得到了人口的阻滞增长模型——Logistic模型：dN1dt=rN（1-N1Nm）N

6、（t0）=N0（3）其解为：N（t）=Nm11+（Nm1N0-1）e-r（t-t0）（4）从以上结果可以看出：（1）当t→+∞时N→Nm，即无论人口初值如何，人口总数趋向于极限值Nm。（2）当00，dN1dt为增函数；当d2N1dt21时，政府对产业园的科学管理使资源环境的利用率提高；当0　　模型（9）的解为：6N（t）=Nm1[1+[（Nm1N0）α-1]·e-αβr（t-t0）]11α（10）从上述Logistic模型我们不难发现，集群资源的容量实际上是有限的，对于资源需求超出集群资源余量的企业将不许进入集群，

7、只有等其他企业退出后让出一定的集群资源，才有机会进入。也就意味着集群内部企业必须因为所在集群进行一定“资源补偿”，由于企业进入集群的前提是可以获得比不进入集群更大的收益，则集聚企业数量为N的情形下，设集群集聚效应的平均收益为：AR=α0+n0nα1（11）集群拥挤效应的平均损失为：AC=n0nα2（12）我们称两者之差为集群环境收益/损失，即：AR-AC=α0+n0nα1-nα2，α1，α2≥1（13）这里α0是集聚效应的基础收益，与n无关；n0nα1-nα2表示n0是这一部分收益或损失的转折点，若α1≥α2，n0

8、即为集群聚集效应收益大于集群拥挤效应损失的转折点。设企业n实际所获得的集群聚集效应收益以及集群拥挤效应损失合计为：Niα0+n01+Ti1n+1nα1-nα2当企业的点度中心度Ti=0时，企业所获得的收益或损失合计为：6Niα0+n0nα1-nα2由上述可知，企业n做出是否进入/退出集群决策的效用函数为：Ui=Nia0+Nin0（1+Ti1n+1）（na1-