2012届总复习-走向清华北大--10对数与对数函数.ppt

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1、第十讲对数与对数函数回归课本1.对数概念(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数性质①零和负数没有对数,即N>0;②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1);③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1).(3)对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为lgN.(5)自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,N的自然对

2、数logeN简记作lnN.2.对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么4.对数函数的定义一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义域为(0,+∞),值域为R.5.对数函数的图象与性质y=logaxa>101时,y>0;当x>1时,y<0;当00在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数x的图象关于x轴对称6.反函数指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=

3、logax(a>0,a≠1,x>0)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.考点陪练1.已知函数的定义域为M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则M∩N=()A.{x

4、x>-1}B.{x

5、-1

6、x<1}D.∅解析:要使函数f(x)有意义,则必须有1-x>0,即x<1,所以f(x)的定义域为{x

7、x<1};要使函数g(x)有意义,则必须有x+1>0,x>-1,所以g(x)的定义域为{x

8、x>-1}.所以M∩N={x

9、-11,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),

10、p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为()A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+1>2a>0.因为a>1,所以函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故选B.答案:B3.下列四个数中最大的是()答案:D解析:①若a>1,则f(x)=logax在[2,+∞]上是增函数,且当x≥2时,f(x)>0.

11、由

12、f(x)

13、>1得f(x)>1,即logax>1.∵当x∈[2,+∞)时,logax>1恒成立,∴loga2>1,∴loga2>logaa,∴1

14、f(x)

15、>1得-f(x)>1,∴f(x)<-1,即logax<-1.∵当x∈[2,+∞)时,logax<-1恒成立,答案:C评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大小,进行分类讨论.答案:C类型一对数的运算解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和､差､积

16、､商､幂转化为对数真数的积､商､幂;二是将式子化为最简单的对数的和､差､积､商､幂,合并同类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.[分析]关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质､对数恒等式､换底公式等进行变形和求解.类型二对数函数的图象解题准备:对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一､四象限;都以y轴为渐近线(当01时,图象向下无限接近y轴);对于相同的a,函数f(x)=logax与g(x)=的图象关于x轴对称.[分析]在同一坐标系下画出y=2x与y

17、=logax的图象,数形结合求解.类型三对数函数的性质解题准备:利用对数函数的性质可以比较对数的大小,解对数不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域,还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性.【典例3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.[分析]由f(1)=1求出a的值,然后根据复合函数的单调性求单调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值.[解](1)∵f(1)=

18、1,∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1