第4章 非线性方程求根.ppt

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1、第4章非线性方程求根非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。通常非线性方程的根的情况非常复杂：无穷组解无解一个解两个解四个解所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解：因此，通常我们用迭代法解非线性方程看迭代法之前，先看看一种简单直观的方法原理：4.1对分法abx1x2ab什么时候停止？或x*While(

2、a-b

3、>eps)x=(a+b)/2f(x)若(

4、f(x)

5、

6、区间为[x,b]若f(a)*f(x)<0b=x//修正区间为[a,x]Endwhile每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，使用条件限制较大算法2xx*不能保证x的精度4.2迭代法f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就是f的根。迭代法的基本步骤如下：1、给出方程的局部等价形式2、取合适的初值，产生迭代序列3、求极限易知，

7、该值为方程的根一定收敛吗？xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1若满足：1、2、可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有则有：1、存在唯一的点2、迭代收敛，且有误差估计定理①存在唯一性②做辅助函数，则有所以，存在点若，则有：又，则所以，任意的初值都收敛证明：③误差估计由p的任意性，令证毕构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。要构造收敛迭代格式有两个要素：1、等价形式2、初值选取下面我们开始介绍若干种迭代法的构造方法4.3Newton迭代法将f(x)在初值处作Taylor展开取线性部分作

8、为f(x)的近似，有：若，则有记为类似，我们可以得到xyx*x0这样一直下去，我们可以得到迭代序列Newton迭代的等价方程为：所以若f(x)在a处为单根，则所以，迭代格式收敛收敛速度函数在a处作Taylor展开即Newton迭代收敛速度快，格式简单，应用广泛定义设迭代xk+1=g(xk)收敛到g(x)的不动点x*。设ek=xkx*，若　　　　　　　，则称该迭代为p阶收敛，其中C称为渐进误差常数。若，则格式p阶收敛若a为m重根，取迭代格式为：若a为重根，则Newton迭代法一般是1阶收敛。若a为多重根，则a为函数u(x)的单根例用New

9、ton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.解Newton迭代格式为kxkƒ(xk)

10、xk-xk-1

11、012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000例：0为2重根注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x04.4弦截法将Newton迭代中的导数

12、，用差商代替，有格式是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢x0x1切线割线迭代：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0,1,2,…是求的三阶方法.,则有:=(2+3a)/(32+a)故2=a,即4.4非线性方程组的Newton迭代法则，直接推广Newton迭代为：实际中，用解方程组的形式Lab04非线性方程求根1.分别编写用Newton迭代和弦截法求根的通用程序2.用如上程序求根取初值x0为0.1,0.2,0.9,9.03.取误差限为1.0e-10，给出根和迭代步数。简单分析你得到的数据SampleOutpu

13、t(representsaspace)Newton迭代，初值、根和迭代步数为0.1,0.244934066848e00,50.2,0.534607244904e00,9...弦截法，初值、根和迭代步数为0.1,0.2,0.244934066848e00,100.2,0.9,0.534607244904e-01,5...提高收敛阶的方法：若是一个p阶收敛的格式，则是一个p+1阶收敛的格式