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1、题目：圆的方程高考要求：1.掌握圆的标准方程和一般方程。2.了解参数方程的概念理解圆的参数方程。3.掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;4.掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;5.灵活运用圆的几何性质解决问题。知识要点：1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2.圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3.圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得（x+）2+（y+）2=把方程其中，半
2、径是，圆心坐标是叫做圆的一般方程。（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零没有xy项。（2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－）；当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程。4.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分。在A=C≠0，B=0
3、时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，仅当D2+E2－4AF＞0时表示圆。故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0第5页5.线段AB为直径的圆的方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是6.经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程。7.经过直线与圆交点的圆系方程：经过直线与圆的交点的圆系方程是：8.确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：，（2）一般方程：，（题型
4、讲解：例1.与点A(-1,0)和点B(1,0)连成直线的斜率之积为-1的动点P的轨迹为A.x2+y2=1B.x2-y2=1(x≠±1)C.x2+y2=1(y≠0)D.y=例2．(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程第5页解：(1)设圆心P(x0,y0),则有解得x0=4,y0=5,∴半径r=,∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+
5、F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2,E=─4,F=0点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式例3.求与轴x轴相切，圆心在直线3x－y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长2的圆的方程分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解：法一：设所求圆点方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，则圆心(a,b)到直线x－y=0的距离为，，即2r2=(a-b)2+14①由于所求圆与x轴相切，∴r2=b2②又所求圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0③联立①②③解得a=1,b=3,r3=9，或
6、a=-1,b=-3,r2=9，故所求圆方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9法二：设所求圆点方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆心为半径为令y=0，得x2+Dx+F=0，由圆与x轴相切，得△=0，即D2=4F①又圆心到直线x-y=0的距离为。由已知得，即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F)②第5页又圆心在直线3x-y=0上，∴3D-E=0③联立①②③得D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1故所求圆方程为x2+y2-2x-6y+1=0，或x2+y2+2x+6y+1=0点
7、评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数例4.求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组得交点A(─11/5,2/5),B(─3,2),利用圆的直径式方程得:(x+11/5)(x+3)+(y─2/5)(y─2)
8、=0,化简整理得(x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5例5.设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。解：配方得：该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3，所求的轨迹方程是，点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中例6.已知点P(x,y)为圆x2+y2
