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时间:2020-11-25
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1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;2、线性运算:加减法、数乘;3、空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、利用坐标做向量的运算:设,,则,;5、向量的模、方向角、投影:1)向量的模:;2)两点间的距离公式:3)方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4)方向余弦:5)投影:,其中为向量与的夹角。(二)数量积,向量积1、数量积:1)2)1、向量积:大小:,方向:符合右手规则1)2)运算律:反交换律(二)曲面及其方程1、曲面方程的概念:2、旋转曲面:(旋转后方程如何写
2、)面上曲线,绕轴旋转一周:绕轴旋转一周:3、柱面:(特点)表示母线平行于轴,准线为的柱面4、二次曲面(会画简图)1)椭圆锥面:1)椭球面:旋转椭球面:2)*单叶双曲面:3)*双叶双曲面:4)椭圆抛物面:5)*双曲抛物面(马鞍面):6)椭圆柱面:7)双曲柱面:8)抛物柱面:(一)空间曲线及其方程1、一般方程:2、参数方程:,如螺旋线:1、空间曲线在坐标面上的投影,消去,得到曲线在面上的投影(二)平面及其方程(法向量)1、点法式方程:法向量:,过点2、一般式方程:(某个系数为零时的特点)截距式方程:3、两平面的夹角:,,4、点到平面的距离:(三)空间直线及其方程(方向向量)1、一
3、般式方程:2、对称式(点向式)方程:方向向量:,过点1、参数式方程:2、两直线的夹角:,,3、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,第九章多元函数微分法及其应用(一)基本概念1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。2、多元函数:,图形,定义域:1、极限:2、连续:3、偏导数:4、方向导数:其中为的方向角。5、梯度:,则。6、全微分:设,则(一)性质1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大
4、最小值定理,介值定理)3、微分法1)定义:2)复合函数求导:链式法则若,则,1)隐函数求导:a.两边求偏导,然后解方程(组),b.公式法(一)应用1、极值1)无条件极值:求函数的极值解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令,,,①若,,函数有极小值,若,,函数有极大值;②若,函数没有极值;③若,不定。2)条件极值:求函数在条件下的极值令:———Lagrange函数解方程组2、几何应用1)曲线的切线与法平面曲线,则上一点(对应参数为)处的切线方程为:法平面方程为:1)曲面的切平面与法线曲面,则上一点处的切平面方程为:法线方程为:第十章重积分(一)二重积分1、定义:2、性质:(6
5、条)3、几何意义:曲顶柱体的体积。4、计算:1)直角坐标X型区域:,Y型区域:,*交换积分次序(课后题)1)极坐标(一)三重积分1、定义:2、性质:3、计算:1)直角坐标-----------投影法“先一后二”-----------截面法“先二后一”2)柱面坐标,3)*球面坐标*(一)应用曲面的面积:第十一章曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分1、定义:2、性质:1)2)3)在上,若,则4)(l为曲线弧L的长度)3、计算:设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则(一)对坐标的曲线积分1、定义:设L为面内从A到B的一条有向光滑弧,函数,在L上
6、有界,定义,.向量形式:2、性质:用表示的反向弧,则3、计算:设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则4、两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,,,则.(一)格林公式1、格林公式:设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数在D上具有连续一阶偏导数,则有2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则曲线积分在内与路径无关曲线积分在内为某一个函数的全微分(二)对面积的曲面积分1、定义:设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,定义2、计算:———“一单值显函数、二投影、三代入”,,则(三)对坐标的曲面积分
7、1、预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、定义:设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义同理,1、性质:1),则2)表示与取相反侧的有向曲面,则2、计算:——“一投二代三定号”,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“+”,为下侧取“-”.3、两类曲面积分之间的关系:其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。(一)高斯公式1、高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有或2、*通量与散度*通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:散度:
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