等差数列及其前n项和(复习教案).doc

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1、等差数列及其前n项和【高考会这样考】1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用.【复习指导】1.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等.2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.基础梳理1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3

2、.等差中项如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则S偶-S奇=;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).

3、5.等差数列的前n项和公式9若已知首项a1和末项an,则Sn=,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=n2+n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).7.最值问题在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:Sn=a1+a2+a3+…+an,①Sn=an+an-1+…+a1,②①+②得:Sn=.两

4、个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通项公式法:验证an=pn+q;(4)前n项和公式法:

5、验证Sn=An2+Bn.注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.9双基自测1.(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于(  ).A.4B.5C.6D.7解析 a2+a8=2a5,∴a5=6.答案 C2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(  ).A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得解得∴S8=8a1+d=32.答案 B3.(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+

6、m,且a1=1.那么a10=(  ).A.1B.9C.10D.55解析 由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10⇒a10=S10-S9=S1=a1=1.答案 A4.(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于(  ).A.13B.35C.49D.63解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7==49.答案 C5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.解析 设公差为d.则a5-a2=3d=6,∴a6=a3+3d

7、=7+6=13.答案 13  9考向一 等差数列基本量的计算【例1】►(2011·福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.[审题视点]第(1)问,求公差d;第(2)问,由(1)求Sn,列方程可求k.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.所以Sn==2

8、n-n2.进而由Sk=-35可得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7为所求.等差数列的通项公式及前n项和公式中,共涉及五个量,知三可求二,如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题的方法.【训练1】(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成

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