(完整版)第二章-应力分析-作业-创新班-东北大学课件.doc

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1、。2019年固体力学与岩石力学基础作业（创新班）第二章应力分析2.1有如图2.1所示三角形水坝，试列出OQ面（光滑面）的应力边界条件和OP面的应力边界条件。x1OPQx2图2.1解：首先，在OP边上，边界条件为：???1=γ????2τ??1??2=0式中，γ??为水的比重。其次，在OQ边界上，边界条件为：???1????????+τ??1??2????????=0τ??1??2????????+???2????????=0解答完毕。2.2在物体中一点P的应力张量为1121122213231=0034031

2、3233405（1）求过P点且外法线为n=12e112e212e3的面上的应力矢量(n)（2）求应力矢量(n)的大小。（3）求(n)与n之间的夹角。（4）求(n)的法向矢量σn（5）求(n)的切向矢量τ。及。证明在平面在平面σ解：（1）过P点，且外法线为n的应力矢量为：???=[??11??12??13??21??22??23??31??32??33]???=[10-40-43005][121-21√2]=142-√23-25-2+[√2]（2）???的大小为：

3、???

4、=√(12-

5、4√2)??+(-32)??+(-2+5)√2??=3.17（3）根据向量关系的有关理论：-1.16+0.75+1.09????????=3.17×1=0.21于是，夹角为：θ=arccos0.21=77.88°（4）法向矢量为：???=[142-√23-25-2+√2][12-121√2]=0.68（5）切向矢量的求解：τ2=???2-???=9.59于是有：τ=3.1解答完毕。2.3通过同一点P的两个平面1、2，其单位法向矢量分别为n1及n2，这两平面上的应力矢量分别为(n1)(n

6、2)（1）σ(n1)n2(n)2n1（2）如果(n1)2上，则(n2)1上。解：（1）证明：因为：(????)=??????????(????)=????????所以有：??(????)????=??(????)????可以改写为：????????????=????????????由于：???????=????????（常数）所以，等式恒成立。证明完毕。（2）如果(n1)在平面2上时，由几何关系知：??(????)????=??根据（1）的证明，有：??(????)????=??即，(n)2在平面

7、1上。解答完毕。2.4如图2.2所示，变宽度薄板，受轴向拉伸载荷P。2221230。试根据柯西应力定理公式确定薄板两侧外表面（法线为n）处横截面正应力33和材料力学中常被忽略的应力11，31之间的关系。ox1x33311vPx3图2.2解：由于，??=(??,?,??)??110??13??=[000]??310??33由柯西公式得：???=????????=??11??2+??33??2+2??31????=0进而，有：???=-22??31????+??11????2解答完毕。2.5已知一点平面状态下的应

8、力张量11211222，求如图2.3所示斜面上的应力矢量。图2.3解：n单位向量为：??=[-????????]????????该斜面山的应力矢量为：???=[??11??12??21??22]???=[-??11????????+12??????????]-??21????????+22??????????解答完毕。2.6已知平面状态下一点的应力张量为11211222，求ox1x2坐标系x2面上的应力分量。解：n单位向量为：??=[-????????]????????该斜面山的应力矢量为：???=[??1

9、1??12??21??22]???=[-??11????????+??12????????]-??21????????+??22????????坐标转换矩阵：A=[???????????????]-???????????????于是，有：???′=A????=[???????????????]?[-??11????????+??12????????]-???????????????-??21????????+??22????????解答完毕。2.7已知ox1x2x3中的应力张量σ，坐标系ox1x2x3绕x3轴旋

10、转角（1）得到坐标系ox1x2x3，随后坐标系ox1x2x3绕x1轴旋转角（1）得到坐标系ox1x2x3，求坐标系ox1x2x3中的应力张量σ。x3,x3x3x3x2x2x1x2x2x1x1,x1解：对于第一次坐标转换：A=[????????????????0-????????????????0]001转换后的应力张量为：′??=???