第二章 应力状态分析

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1、第二章应力状态分析内容介绍知识点               体力应力矢量应力分量平衡微分方程面力边界条件   主平面与主应力主应力性质截面正应力与切应力三向应力圆八面体单元偏应力张量不变量 面力正应力与切应力应力矢量与应力分量   切应力互等定理应力分量转轴公式平面问题的转轴公式应力状态特征方程应力不变量最大切应力球应力张量和偏应力张量  作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。   所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。   面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。   为了表明物体在

2、xyz坐标系内任意一点P所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V,如图所示设△V的体力合力为△F，则P点的体力定义为令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为   一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。   物体内任一点的体力用Fb表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。   体力沿三个坐标轴的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。      应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。类似于体力，可以给出面力的定义。   对于物体表面上的任一点P，在

3、P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，如图所示。设△S上作用的面力合力为△F，则P点的面力定义为   面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。      面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。   面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。   弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。   内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物

4、体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。   内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元ΔS，如图所示则可认为微面积上的内力主矢ΔF的分布是均匀的。设ΔS的法线方向为n，则定义：   上式中pn为微面积ΔS上的平均应力。如果令ΔS逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得上述分析可见：pn是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。   应力pn是矢量，方向由内力主矢ΔF确定，又受ΔS方位变化的影响。   应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应

5、力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。   一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。   应力矢量的一种分解方法是将应力矢量pn在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用px,py,pz表示其

6、分量，则pn=pxi+pyj+pzk   这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。   另一种分解方法，如图所示，是将应力矢量pn沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。与微分面ΔS法线n方向的投影称为正应力，用sn表示；平行于微分面ΔS的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用tn表示。   弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。   由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力sn的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力tn不仅需要确定截面方位，还必须指明方

7、向。为了表达弹性体内部任意一点M的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元，如图所示。   将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量sij。   应力分量的第一脚标i表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；   第二脚标j表示应力的方向。如果应力分量与j坐标轴方向一致为正，反之为负。   如果两个脚标相同，i＝j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，