(完整版)函数与导数经典例题(含答案).doc

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1、函数与导数1.已知函数f(x)4x33tx26txt1,xR，其中tR．（Ⅰ）当t1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）当t0时，求f(x)的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点．【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当t1时，f(x)4x33x26x,f(0)0,f(x)12x26x6f(0)6.所以曲线y

2、f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y6x.（Ⅱ）解：f(x)12x26tx26t，令f(x)0，解得xt或xt2.因为t0，以下分两种情况讨论：（1）若t0,则t2t,当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：xt,2t2,tt,f(x)+-+f(x)所以，f(x)的单调递增区间是,t2,t,;f(x)的单调递减区间是t2,t。（2）若t0,则tt2，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x,tt

3、,t2t2,f(x)+-+f(x)1所以，f(x)的单调递增区间是,t,t2,;f(x)的单调递减区间是t,t2.（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t0时，f(x)在0,t2内的单调递减，在t2,内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当t21,即t2时，f(x)在（0，1）内单调递减，f(0)t10,f(1)6t24t3644230.所以对任意t[2,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。（2）当0t21,即0t2时，f(x)在0,t2

4、内单调递减，在t2,1内单调递增，若t(0,1],f1274t3t174t30.f(1)6t24t36t4t32t30.所以f(x)在t2,1内存在零点。若t(1,2),ft274t3t174t310.f(0)t10所以f(x)在0,t2内存在零点。所以，对任意t(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意t(0,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。2.已知函数f(x)23x12，h(x)x．（Ⅰ）设函数F

5、(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR，解关于x的方程lg[32f(x1)34]2lgh(ax)2lgh(4x)；（Ⅲ）设*nN，证明：f(n)h(n)[h(1)h(2)Lh(n)]16．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数2121log(与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）F(x)18f(x)2x[h(x)]23x12x9(x0)，

6、F(x)23x12．令F(x)0，得x2（x2舍去）．当x(0,2)时．F(x)0；当x(2,)时，F(x)0，故当x[0,2)时，F(x)为增函数；当x[2,)时，F(x)为减函数．x2为F(x)的极大值点，且F(2)824925．（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[32f(x1)3]log2h(ax)log2h(44x)，即为log4(x1)log2axlog24xlog2ax4x，且xa,1x4,①当1a4时，1xa，则x1ax4x，即2x

7、6xa40，364(a4)204a0，此时x6204a235a，∵1xa，此时方程仅有一解x35a．②当a4时，1x4，由x1ax4x，得2x6xa40，364(a4)204a，若4a5，则0，方程有两解x35a；若a5时，则0，方程有一解x3；若a1或a5，原方程无解．方法二：原方程可化为log4(x1)log2h(4x)log2h(ax)，即22x1)log24xlog2ax，x10,4x0,ax0,(x1)(4x)ax.

8、1xxa,a(4x23)5.①当1a4时，原方程有一解x35a；②当4a5时，原方程有二解x35a；③当a5时，原方程有一解x3；④当a1或a5时，原方程无解．（Ⅲ）由已知得h(1)h(2)Lh(n)]12Ln，f(n)h(n)164n63n16．设数列{an}的前n项和为Sn，且Snf(n)h(n)16（*nN）从而有a1S11，当2k100时，akSk