高数函数教学ppt课件.ppt

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1、第一章函数的极限与连续第一节函数及其性质第二节极限第三节函数的连续性分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁1第一节函数及其性质一、函数的概念二、函数的性质本节主要内容:2一、函数的概念(一)区间与邻域1.区间研究函数时,常常要用到区间的概念.设开区间闭区间右半开区间左半开区间实数a,b叫相应区间的端点,数b-a称为区间的长度.规定:3无限区间42.邻域点的邻域其中,称为邻域中心,正数称为邻域半径.点的去心邻域点的左邻域:右邻域:以为中心的任何开区间称为点的邻域,记作5(二)函数的概念子集，任意x∈D，变量y按照某个对应关系则称f是定义在D上的函

2、数，x称为自变量,f,有唯一确定的实数与之对应(记作y=f(x)),定义1.1.1设x,y是两个变量，D是R的非空y称为因变量.D称为函数f的定义域，数集f(D)={f(x)

3、x∈D}称为函数f的值域.1.函数的定义6定义域:是指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.确定函数的两要素：(1)对应关系;(2)定义域.如,绝对值函数定义域值域与函数g(x)=x,定义域D=R,值域f(D)=R,在x<0时对应关系不相同,所以,是两个不同的函数.但f(x)与则是同一个函数.两个函数只有当两要素都相同时，才是同一个函数.7例1确定函数的定义域，并求该函数的定义域应为满足不等

4、式组解之得：故该函数的定义域为解8常用的方法有：表格法、图示法和公式法。（1）以表格形式表示函数的方法称为函数的表格表示.（2）以图形表示函数的方法称为函数的图示法.（3）用数学式表示函数的方法称为函数的公式表示法，也称解析法.2.函数的表示方法9习惯上,的反函数记成定义1.1.2设有函数y=f(x)，其定义域为D，值域为M．如果对于M中的每一个y值(y∈M)，都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x值(x∈D)与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数3.反函数叫做函数y=f(x)的反函数，它的定义域为M，值域为D．10(1)y＝f(x)单调递增(减),其反函数存在,

5、且反函数也单调递增(减).反函数性质:(2)函数y=f(x)与其y=x对称.反函数的图形关于直线114.基本初等函数及其图象:幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数以上五类函数称为基本初等函数.基本初等函数的图像及性质请自行复习.125.复合函数定义1.1.313说明：1.不是所有函数都能构成复合函数.例如：1.函数因为u=x2+2的值域为y=arcsinu的定义域为[-1,1],由于所以不能构成复合函数.14例如：函数复合而成的函数为3.对于复合函数要会“分解”.分解复合函数原则:由处层向内层逐层分解,并观察各层函数是否为基本初等函数或简单函数.2.复合函数还可

6、以由两个以上函数的复合而成.注:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算构成的函数叫简单函数.15例2试将下列函数复合成一个函数:(1)与(2)(1)所求的复合函数为它的定义域为：[-1,1](2)所求的复合函数为它的定义域为：解16例3指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的:(1)(2)解复合而成.(2)(1)是由复合而成.是由17定义1.1.4由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成，且可用一个式子表示的函数，称为初等函数．表面形式复杂,但依然是初等函数.6.初等函数18不是初等函数是初等函数不是初等函数是初等函数19对定义域的某些不同部

7、分，对应关系用不同的式子表示的函数，称为分段函数.例如：注意:☆分段函数一般不是初等函数.☆分段函数不可认为是若干函数的和,也不是几个函数,而是一个函数!只是随着自变量x取不同范围的值,函数对应的表达式不同.7.分段函数20例4设求其定义域、值域及f(2)、f(0)和f(-2)．定义域D=R，值域M={-1，0，1}f(2)=1,f(0)=0,f(-2)=-1.f(x)叫符号函数,记为：sgnx解21定义域D=[0,+∞)，值域M=[0,+∞)求其定义域、值域及t≤0时，无意义;t>0时，解例5设22定义1.1.5设函数y=f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义

8、域中的任何x，都有二.函数的性质(一)奇偶性如果对于定义域中的任何x，都有不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.则称y=f(x)为奇函数．则称y=f(x)为偶函数.23如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.奇函数与偶函数图象的对称性如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.24定义域D=且有例6判断函数所以该函数是奇函数．解的奇偶性．25定义1.1.6设函数