现代设计理论与方法-第2章优化设计ppt课件.ppt

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1、第2章优化设计李旻编写12.1概述优化设计是借助最优化设计数值计算方法和计算机技术，求取工程问题最优设计方案的方法。对工程问题进行优化设计一般要进行两项工作。第一是将实际问题抽象地用数学模型来描述，包括选择设计变量，确定目标函数，给出约束条件；第二是对数学模型进行必要的简化，并采用适当的最优化方法求解数学模型。22.2优化设计数学模型2.2.1设计变量和设计空间设计变量是表达设计方案的一组基本参数。如几何参数：零件外形尺寸、截面尺寸，机构的运动学尺寸等；物理参数：构件的材料、截面的惯性矩、固有频率等；性能导出量：应力、应变、挠

2、度等。设计变量是对设计性能指标好坏有影响的量，应在设计过程中选择，并且应是互相独立的参数。3全体设计变量可以用向量来表示，包含n个设计变量的优化问题称为n维优化问题，这些变量可表示成一个n维列向量式中，xi（i＝1，2，3，…，n）表示第i个设计变量。当xi的值都确定之后，向量x就表示一个设计方案。4一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。（a）（b）图2-1二维平面与三位空间设计变量个数称为自由度，自由度就越大，可供选择的方案就越多，优化的难度就越大，计算的程序也越复杂，计算量也越

3、大。52.2.2约束与可行域在优化设计中，为了得到可行的设计方案，也必须根据具体要求，给设计变量加上种种限制，这就是约束条件。根据约束的特性，可分为：（1）边界约束：直接用来限制设计变量的取值范围，如长度、重量的变化的范围，可直接获得。（2）根据某种性能指标要求推导出来的限制条件，如对应力、变形、振动频率、机械效率等性能指标的限制或者运动参数如位移、速度、加速度的限制等。这些约束可根据设计规范中的设计公式或通过力学分析导出的约束函数来表示。6一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。约

4、束条件可表示成如下形式：（1）不等式约束，（2）等式约束7满足所有约束条件的方案点的集合称为可行区域，简称可行域，用D表示。可行域内的方案点称为可行方案点，简称可行点（或内点），否则称为不可行方案点（或外点）。当方案点位于某个不等式约束的边界上时，称为边界点。图2-2线性约束的可行域8图2-3可行域与可行点92.2.3目标函数与等值线目标函数是用于评价设计方案好坏的函数，又称为评价函数。目标函数是用设计变量来表示的优化目标的数学表达式，通常表示为求解优化问题的实质就是通过改变设计变量，获得不同的目标函数值，通过比较目标函数值的

5、大小来衡量方案的优劣，从而找出最优方案。目标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值，在建立优化问题的数学模型时，一般将目标函数的求优表示为求极大或极小。为规范起见，将求目标函数的极值统一表示为求其极小值。10图2-4二维目标函数的等值线图2-5旋转抛物面的等值线与极值点112.2.4优化设计的数学模型优化设计问题的数学模型可表述为：在满足约束条件的前提下，寻求一组设计变量，使目标函数达到最优值。一般约束优化问题数学模型的基本表达方式为1213142.3优化方法数学基础2.3.1梯度与方向导数1．梯度偏导数梯度向量15方向导数

6、1617182.3.2多元函数的泰勒展开式19一阶泰勒近似展开式二阶泰勒近似展开式在优化设计中，经常根据上式把目标函数近似地表示成二次函数以使问题得到简化。20212.3.3二次型与正定矩阵如果n元二次函数中只含有变量的二次项，则称为二次齐次函数，或二次型，记为22矩阵A正定与否可以通过以下方法判别。如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式都大于零，则矩阵A为正定矩阵。即如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号负正相间，即所有奇数阶主子式都为负，所有偶数阶主子式都为正，则矩阵A为负定矩阵。如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号变化

7、不符合以上两种规律，则矩阵A为不定矩阵。232.3.4无约束优化的极值条件24252.3.5凸集、凸函数与凸规划26（a）（b）（c）图2-6凸集与非凸集图2-7一元凸函数图像2728292.3.6有约束优化的极值条件（a）b）图2-8目标函数与约束函数都是凸函数的极值问题30（a）（b）图2-9目标函数与约束函数不全是凸函数的极值问题31对于约束优化问题，不仅需要判断约束极值点存在的条件，还要判别所找到的极值点是可行域内的全局最优点，还是局部最优点。显然，后一问题更复杂，而且至今仍没有统一而有效的判别方法。库恩－塔克（Kuh

8、n-Tucker，简称K-T）条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，它适用于含有等式约束和不等式约束的一般非线性规划问题，是确定迭代点为极值点的必要条件，对于凸规划问题来说它同时也是充分条件。3233使用K-T条件时，需要注意以下两点：（1）满足K-T条件的点是约束极值