理学线性代数复习进程.ppt

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1、理学线性代数一特征值，特征向量定义及性质一.特征值，特征向量定义及其性质定义Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②　　　并不一定唯一；③　ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①　特征向量　　，特征值问题只针对方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．定理设ｎ阶方阵　　　　的特征值为则证明(1)当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令得即证明(2)因

2、为行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素.的项只能在主对角线故有比较①，有因此，特征多项式中含上元素的乘积项中．定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为例1求矩阵Ａ的特征值和特征向量，其中解Ａ的特征多项式为Ａ的特征值为，对应的特征向量应满足即解得所以对应的特征向量可取，对应的特征向量应满足即解得所以对应的特征向量可取显然，若是方阵A的对应于特征值的特征向量，则也是对应于的特征向量。例2求矩阵解Ａ的特征多项式为所以Ａ的特征值为的特征值和

3、特征向量。，解方程解得故也是对应于的全部特征向量。，解方程解得基础解系为故也是对应于的全部特征向量。例3求矩阵的特征值和特征向量。解所以Ａ的特征值为，解方程解得所以对应于的全部特征向量为，解方程解得所以对应于的全部特征向量为例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得证明则即类推之，有特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得注意１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.　矩阵的特征向量总是相

4、对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；4.一个特征向量不能属于不同的特征值．因为，如果设x同时是A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量，即有二对角化的条件二.对角化的条件定理若n阶方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式从而A与B的特征值也是相同的。推论若ｎ阶矩阵Ａ与对角阵是A的n个特征值。相似，则定理若ｎ阶矩阵Ａ与一个对角阵相似的充分必要条件是Ａ有n个线性无关的特征向量。推论如果ｎ阶矩阵Ａ的n个特征值各不相等，则A与对角矩阵相似。注：给出了一个判断矩阵A能否能够对角化的充要条件.即：若A有n个线性

5、无关的特征向量，则A可对角化；若A的所有线性无关的特征向量的个数小于n，则A不可对角化。例设的一个特征向量为（1）求参数a,b的值及Ａ的与特征向量p对应的特征值。（2）Ａ与对角阵是否相似？解（1）设Ａ的与特征向量p对应的特征值为λ，可得方程组（A-λE）p=0,即即解得（2）Ａ与对角阵是否相似？由知A有三重根r(A+E)=2,n-r=3-2=1,因而A的与λ=-1对应的线性无关的特征值只有一个，所以A不与任何对角阵相似。三小结三.小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们

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